П.2 Непрерывность функции многих переменных

. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке , если существует .

. Функция , определенная в окрестности , непрерывна в точке , если .

. Функция называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример Функция не является непрерывной в точке , так как не существует . Действительно, если взять две последовательности и , то получим

, при .

Теорема (о непрерывности сложной функции) Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке ; функция определена в окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .

Пример непрерывна на .

Здесь , , , .

п.3 Свойства непрерывных функций

Теорема 1 (Вейерштрасса) Функция , непрерывная на компакте, ограничена на этом компакте.

Теорема 2 (Вейерштрасса) Функция , непрерывная на компакте, принимает на этом компакте свои наименьшее и наибольшее значения.

. Функция называется равномерно непрерывной на множестве D, если .

Теорема (Кантора) Функция , непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.

Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в области ( – связное множество) и принимает в этой области значения А и В. Тогда функция принимает в области и все значения, заключенные между А и В, т.е.

.

Доказательство. Пусть функция непрерывна в области , , , . По условию, – связное множество. Соединим точки а и b непрерывной кривой .

Сложная функция непрерывна на и принимает на концах этого отрезка значения А и В. Так как непрерывная функция одной переменной, то она принимает на все значения, заключенные между А и В. Но множество значений функции является подмножеством множества значений функции . Поэтому и функция принимает все значения, заключенные между А и В ■

§3 Дифференцируемость функций многих переменных

Дата добавления: 2015-08-13