П.2 Дифференцируемость функций многих переменных

О. Функция называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности и существуют такие числа , что приращение функции в точке представимо в виде:

при .

Теорема Если функция дифференцируема в точке , то она имеет все частные производные , , причем

при .

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что существуют такие числа , что при

.

Возьмем в последнем равенстве , , …, .

Тогда последнее равенство примет вид:

, .

Разделим это равенство на и устремим . Получим

.

Аналогично доказывается, что , ■

Доказанная теорема говорит о том, что дифференцируемость функции является достаточным условием для существования частных производных. Однако существование частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в точке.

Теорема Если все частные производные , определены в окрестности точки и непрерывны вточке , то функция дифференцируема в точке .

Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции, но не является необходимым условием.

Дата добавления: 2015-08-13