Дифференцируемость неявной функции

Теорема (достаточные условия) Пусть 1) функция в окрестности точки имеет непрерывные частые производные и ; 2) ; 3) .

Тогда существует прямоугольник

,

в котором уравнение определяет единственную неявную функцию вида , которая непрерывно дифференцируема на интервале , и её производная вычисляется по формуле:

.

Пример Найти при , если функция задана неявно уравнением .

Решение. Обозначим .

, – непрерывны в окрестности точки . , . Тогда

.

Замечание. Если условие не выполнено, то уравнение (1) может иметь не единственное решение относительно y, а может не иметь ни одного решения.

Например, рассмотрим уравнение и точку . Здесь , , . При уравнение неразрешимо в окрестности точки , а при имеет два решения .

Уравнение не имеет решений относительно y при . Уравнение в окрестности точки имеет 4 непрерывных решения ( и ).

Дата добавления: 2015-08-13