П.3 Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим функцию n+m переменных:

, где , .

Числа называются множителями Лагранжа, а функция называется функцией Лагранжа.

О. Точка называется стационарной точкой функции Лагранжа, если

, …, , , …,

.

Теорема 1 (Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , непрерывно-дифференцируемы в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби

равен m. (*)

Тогда найдутся такие множители Лагранжа , что будет стационарной точкой функции Лагранжа.

Обозначим – второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный по переменным в точке , т.е.

.

Обозначим через следующее множество в :

.

Теорема 2 (Необходимое условие точки условного минимума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m. Тогда найдутся такие множители Лагранжа такие, что является стационарной точкой функции Лагранжа, а при .

Теорема 3 (достаточные условия условного экстремума) Пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m, и пусть является стационарной точкой функции Лагранжа .

Тогда если есть положительно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого минимума функции при наличии связей (1).

Если есть отрицательно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого максимума функции при наличии связей (1).

Если есть неопределенная квадратичная форма при , то не является точкой условного экстремума функции при наличии связей (1).

Дата добавления: 2015-08-13