В метрическом пространстве

П.2 Открытые и замкнутые множества

. Точка называется внутренней точкой для множества М, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторым шаром с центром в этой точке, т.е. .

. Совокупность всех внутренних точек множества М называется внутренностью множества М и обозначается .

. Если все точки множества М являются внутренними, то множество М называется открытым.

Пустое множество Ø считается открытым, по определению.

Теорема 1) Всё пространство Х – открытое множество. 2) Объединение любого количества открытых множеств есть открытое множество. 3) Пресечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

. Окрестностью точки будем называть любое открытое множество, содержащее точку .

Например, шар является окрестностью точки .

. Точка называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки есть точки множества М, отличные от точки .

. Множество называется замкнутым, если дополнение его является открытым.

Утверждение Множество М замкнуто тогда, и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. (Доказательство от противного)

Теорема 1) Всё пространство Х и пустое множество Ø – замкнуты.

2) Пересечение любого количества замкнутых множеств есть замкнутое множество. 3) Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

. Замыканием множества М называется объединение множества М со всеми своими предельными точками. Обозначается .

. Множество называется компактным, если оно замкнуто и ограничено.

. Точка а называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки а есть как точки, принадлежащие М, так и точки, не принадлежащие М.

Совокупность всех граничных точек множества М называется границей множества М и обозначается .

§2 Функции многих переменных

Дата добавления: 2015-08-13