Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Если на поверхности через точку М на ней провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые (они называются касательными к поверхности), то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.

1. Если поверхность заданна уравнением z=f(x,y), разрешенным относительно z (т.е. в явной форме), а точка касания М имеет координаты (x₀, y₀, z₀), то уравнение касательной плоскости записывается так:

(1)

а нормаль к поверхности в точке М определяется уравнением

(2)

Символы и означают, что производные функции z=f(x,y) вычислены при значениях х=х₀,, у=у₀,.

2. Если поверхность определена уравнением f(x, y, z)=0, неразрешенным относительно z (уравнение поверхности задано в неявной форме), а точка касания имеет координаты (x₀, y₀, z₀), то касательная плоскость определяется уравнением

(3)

а нормаль к поверхности в точке М(x₀, y₀, z₀)

(4)

Символы , , означают частные производные функции f(x, y, z), вычисленные для значений х=х₀,, у=у₀, z=z₀,.

Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=x²+3y² в точке, для которой x=1; y=1.

Решение. Прежде всего определим аппликату точки касания: z(1,1)=1²+3∙1²=4. Итак, точка касания имеет координаты (1, 1, 4), т.е. х₀=1; у₀=1; z₀=4. Так как уравнение поверхности разрешено относительно z, то касательная плоскость и нормаль определяются уравнениями (1) и (2). Определяем частные производные функции z: Вычислим теперь значения частных производных в точке касания:

Подставляя эти значения и координаты точки касания в уравнения (1) и (2) получим уравнение касательной плоскости z-4=2(x-1)+6(y-1), или 2х+6y-z-4=0. Уравнение нормали

Пример 2. Определить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x²+y²+z²-4x+6y-8z-1=0 в точке М(1,2,2).

Решение. Здесь уравнение поверхности задано в неявной форме (оно не разрешено относительно z), а потому касательная плоскость и нормаль к поверхности определяются уравнениями (3) и (4). Обозначим левую часть уравнения поверхности через f(x, y, z), найдем частные производные этой функции и их значения в точке касания М:

, , ,

f(x, y, z)=x²+y²+z²-4x+6y-8z-1;

Подставляя найденные значения частных производных и координаты точек касания в уравнения (3) и (4), получим уравнения касательной плоскости

-2(х-1)+10(у-2)-4(z-2)=0, или 2x-10y+4z+10=0;

уравнение нормали

Пример 3. К поверхности х²+3y²+z²=1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости 2x+4y+z=0.

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде f(x, y, z)= х²+3y²+z²-1=0. Обозначим координаты точки касания М через . Определим значения частных производных функции f(x, y, z) в этой точке:

Уравнение касательной плоскости запишется в виде

2x₀(x-x₀)+6y₀(y-y₀)+2z₀(z-z₀)=0, и задача сводится к определению координат точки касания: .

Из условия параллельности касательной плоскости и заданной в задаче плоскости 2x+4y+z=0 следует, что Обозначая каждое из этих отношений через k, получим: x0=k; ;

Так как точка М(x0, y0, z0)-точка касания, то ее координаты удовлетворяют уравнению заданной поверхности, а потому

36k²+16k²+9k²=1;

Подставляя эти значения в уравнение касательной плоскости, получим

Таким образом, оказалось, что условию задачи удовлетворяют две плоскости.

ВАРИАНТ 1

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3.
Найти производную сложной функции.

.

4.
Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области D .

6. Найти точки условного экстремума функции.

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке М в направлении:

а) градиента;

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 2

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции.

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной
точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента;

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 4

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y ) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 5

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 6

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 7

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 8

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в

точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 9

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y)

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 10

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 11

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 12

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 13

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 14

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 15

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 16

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 17

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 18

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 19

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 20

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 21

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 22

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 23

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке, М (0;5;1);.

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 24

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 25

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной за

Дата добавления: 2015-08-13