Решение. 1. По формуле (1) находим производную ∂f /∂l по указанному в задаче направлению

1. По формуле (1) находим производную ∂f /∂l по указанному в задаче направлению. Чтобы воспользоваться этой формулой, найдем частные производные

∂ f /∂x, ∂f /∂y и ∂f /∂z: ∂f /∂x = 2x(y² + z²);

∂f /∂y = 2y(x² + z²); ∂f /∂z = 2z(y² + x²).

Подставляя эти значения производных в (1), получим

∂f /∂l = 2x(y² +z ²)cosα + 2y(x² + z²)cosβ + 2z(y² + x²)cosγ.

В точке А(1/ ,1/ ,1/ ) значение ∂f /∂l найдем, подставаив в предыдущее равенство x = y = z = 1/

(∂f /∂l) = cosα + cosβ + cosγ.

2. По формуле (2)

grad f = 2x(y² + z²) +2y(x² + z²) + 2z(y² + x²) .

В точке А (grad f)_A = + + , а его проекции на координатные оси и его модуль в этой точке равны:

(grad f)_x = (grad f)_y = (grad f)_z = 1,

│grad f│= .

Направляющие косинусы вектора grad f в точке А равны:

cosα₁ = 1/ ; cosβ₁ = 1/ ; cosγ₁ = 1/ .

(Контроль: cos²α₁ + cos²β₁ + cos²γ₁).

Эти направляющие косинусы определяют направление наибыстрейшего роста нашей функции в т. А.

Если направление , о котором шла речь в задаче, совпадало бы с направлением вектора grad f, то производная ∂f /∂l достигала бы своего наибольшего значения на этом направлении, и тогда в точке А

(∂f /∂l)_max = 1/ +1 / + 1/ = 3/ = .

Пример 5. Задано скалярное поле u = x²y - xz³ + 5. Найти производную ∂u /∂l в направлении = (2, 3, -6) и grad u в точке М(1,-2,1)

Найдем │_M = (2xy- z³) │_M = -5

│_M = x²│_M = 1

│_M = - 3xz²│_M = -3

т.к. │ │ = = =7, то cosα = 2/7,

cosβ = 3/7, cosγ = - 6/7

тогда │_M = │_Mcosα + │_Mcosβ + │_Mcosγ =

= -5 +1 - 3 (- ) =

т.к. │_M >0, поле в точке М в направлении .

Построим вектор-градиент функции в т. М

grad u (M)= │_M + │_M + │_M = -5 + -3

Видим, что │grad u│>()_M

Для самоконтроля:

пр_lgrad u=│grad u│cosφ= = =

Пример 6. Найти │grad u│ и направляющие косинусы градиента в точке А(x₀,y₀,z₀), если функция u =

где r = .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (4) для определения

grad u, нам надо найти , и . У нас u = , а потому проекция градиента этой функции на ось ОХ: (grad )_x= = - , но

r = , а потому = , и тогда

= - , или = - .

Аналогично (grad )_y = = - ; (grad )_z = = - .

Пользуясь формулой (4), получаем, что

│grad u│= .

В точке А│grad u│= , где.

Направляющие косинусы вектора найдем по формулам

cos(,x) = ; cos(,y) = ;cos(,z) = .

Подставляя в эти формулы найденные значения

, , и , получим

cos(,x) = - ; cos(,y) = - ; cos(,z) = - .

Чтобы найти значение направляющих косинусов градиента нашей функции в т.А, надо в последних формулах заменить x, y и z соответственно на x₀, y₀ и z₀, a r – на

r₀= .

Дата добавления: 2015-08-13