Производная по направлению

Производная от функции f(x,y,z) по направлению () характеризует скорость изменения функции f (x,y,z) по этому направлению.

Эта производная вычисляется по формуле

(1)

Рассмотрим функцию Z = f (x,y) в некоторой области, содержащей точку m(x,y) и единичный вектор {cosα, cosβ} любого направления.

Для характеристики скорости изменения функции в точке m(x,y) в направлении вектора введем понятие производной по направлению.

Перейдем из точки M(x,y) в Y

точку M(x +∆x; y+∆y) в направ-

лении . При этом функция M₁(x+∆x,y+∆y)

Z = f(x,y) получит приращение β α

∆Z = f(x +∆ x; y +∆y) – f(x,y)β

Разделив приращение функции 0 М(x,y)

на длину отрезка смещения MM₁, X

получим отношение ∆Z / MM₁, и

найдем предел Lim(∆Z / MM₁) при Рисунок 26

стремлении точки М к точке M₁.

Если предел данного отношения существует и конечен, то он называется производной функции Z = f(x,y) в точке М в направлении вектора .

Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой об­ластью. Замкнутыми областями будут, например, круг х² + у² ≤ 1 пря мо­угольник - 1≤ х≤ 1, - 2≤ у≤ 2; кольцо 1≤ х² + у²≤ 4; бесконечный сектор, со­стоящий из точек (х, у) плоскости, для которых х≥ 0, у≥ 0 и т.д.

Область называется ограниченной, если она целиком лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат.

В указанных выше примерах областей все области, кроме последней, ограниченные (рис.14).

Данные выше определения области, замкнутой и ограниченной пло­ской области легко обобщаются на трехмерный случай.

Пусть функция f(х у) определена в некоторой области D (замк­нутой или незамкнутой). Будем называть эту функцию непрерывной в об­ласти D, если она непрерывна в каждой ее точке. При этом непрерывность в лю­бой граничной точке области D определяется следующим образом: функ­ция f (х,у) непрерывна в граничной точке М(х₀,у₀), если для лю­бого положи­тельного числа ε существует число δ>0, такое, что для всех точек М (х,у) области D, удовлетворяющих условию, выполнено неравенство f(х, у) - f(х, у).

Функции, непрерывные в замкнутых ограниченных областях, обла­дают следующими свойствами.

1. Функция f(х, у), непрерывная в замкнутой ограниченной об­ласти, ограничена в этой области, т.е. существует число К, такое, что для всех точек области │ f(х, у) │ <К.

2. Функция f (х, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. Это значит, что существуют числа m и М, такие, что для всех точек (х, у) области

m ≤ f (х, у) ≤ М,

причем в области имеются точки (х₁, у₁) и (х₂, у₂), такие, что f(х₁,у₁)=m, f(х₂,у₂) = М. Здесь m – наименьшее, а М – наибольшее значения функ­ции f(х, у) в данной области.

3. Функция f(х, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области, между любыми двумя своими значениями принимает все промежуточные, т.е. если А <С<В, где А и В – какие-то значения функции f(х, у) в дан­ной области, то в этой области существует точка (х₀, у₀), в которой f(х₀,у₀)=С.

Отсюда, в частности, следует, что если (х₁, у₁) и (х₂, у₂) – точки дан­ной области, причем f(х₁, у₁)< 0, а f(х₂, у₂)>0, то в области существует точка (х, у), в которой f(х₀, у₀) = 0.

4. Если функция f(х,у) непрерывна в замкнутой ограниченной об­ласти, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа ε существует число δ>0, такое, что для любых двух точек (х₁, у₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, мень­шем δ, выполнено неравенство­

│ f(х₁, у₁) – f(х₂, у₂) │<ε.

Понятия непрерывности функции в точке, в области и перечислен­ные свойства непрерывных функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.

Таким образом,

Так как дает среднюю скорость изменения функции Z на участке MM₁, то его предел при MM₁®0 принимают за истинную скорость изменения функции Z в точке М в направлении вектора .

Пусть и единичные вектора в направлении осей ОХ и ОУ. Тогда, если в данной точке существуют частные производные ∂z /∂x и

∂z /∂y, полагая = и = получим соответственно

∂z /∂n = ∂z /∂x и ∂z /∂n = ∂z /∂y

Пусть Z = f(x,y) дифференцируемая в точке М(x,y). Обозначим

MM₁ = ρ, тогда ∆x = ρcosα, ∆y = ρcosβ

∆Z = f (x ∆x; y ∆y) – f (x,y) = f ′_x(x,y)∆x + f ′_y(x,y)∆y + ερ

∆Z = f ′_x(x,y)ρcosα + f ′_y(x,y)ρcosβ + ερ

где ε - бесконечно малая величина при ρ®0

Разделим обе части уравнения на ρ и перейдем к пределу при ρ®0:

∂z /∂n = f '_x(x,y)cosα + f '_y(x,y)cosβ или

∂z /∂n = (∂z /∂x)cosα + (∂z /∂y)cosβ (2)

Пример 1. Найти производную функции Z = x² + y²x в т.А (1,2) по направлению , где т.В (3,0)

Найдем единичный вектор данного направления:

= 2 -2 │ │=

= , т.е. cosα = 1/ , cosβ = - 1/

Вычислим частные производные

∂z /∂x = 2x + y² ∂z /∂y = 2xy

(∂z /∂x)_{в т.А} = 2 + 4 = 6 (∂z /∂y)_{в т.А} = 2·1·2 = 4

По формуле (2) получаем

∂z /∂n = 6/ + 4(-1/ ) =

Дата добавления: 2015-08-13