Замечание 2

Производная ∂f /∂l равна нулю по любому направ-лению, касательному к поверхности уровня. Она достигает своего наибольшего значения по направлению нормали к поверхности уровня.

Пример 2. Найти производную функции f(x,y) = x³-y³ в точке М(1,1) в направлении , составляющем угол α = 60˚ с положительным направлением оси ОХ.

Решение. В формуле (1)

cos (l,x) = cosα = cos60˚ = 1/2;

cos(,y) = cos(90˚-α) = cos30˚ = /2; cos(l,z) = 0.

Кроме того,

∂f /∂х = 3х²; ∂f /∂y = - 3y².

Подстановка в (1) дает

∂f /∂l = 3х²/2 - 3y² /2.

В точке М(1,1) имеем х=1, y=1. Подставляя эти значения х и y в последнее равенство, будем иметь

∂f /∂l = 3/2 - 3 /2=3/2(1- ).

Итак искомая производная

∂f /∂l =3/2(1- ).

Вектор с координатами ∂z /∂x, ∂z /∂y в точке (x,y) называется градиентом функции z = f(x,y) в этой точке и обозначется

grad f(x,y) = grad z =

Замечание 3

Производную по направлению можно записать с помощью скалярного произведения

∂z /∂n = (grad z, ) = пр grad z =│grad z│cosω,

где ω – угол между направлением и направлением grad в данной точке.

Из этого соотношения следует, что производная функции по направлению будет наибольшей если это направление совпадает с направлением градиента (угол ω=0). При этом ∂z /∂u =│grad z│

Таким образом градиент дифференцируемой функции z = f(x,y) в каждой точке по величине и по направлению дает наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

Градиент обладает следующими свойствами:

1. grad (u+v) = grad u +grad v

2. grad (uv) = ugrad v + vgrad u

3. grad f(u) = f’(u)grad u

4. grad cu = cgrad u, c = const

Замечание 4

Вектор grad f в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции. Скорость изменения скалярной функции f по некоторому направлению () равна проекции вектора grad f на это направление, т.е.

∂f /∂l = (grad f)_l.

В этом состоит основное свойство градиента функции.

Пример 3. Найти производную функции f(x,y) = 3x² - 6xy + y² в точке

А(-1/3;-1/2) в направлении , составляющем угол α с положительным направлением оси ОХ. В каком направлении эта производная имеет:

а) наибольшее значение; б) наименьшее значение; в) значение, равное нулю?

Найти также градиент данной функции, его модуль и его направляющие косинусы.

Решение. По условию задачи cos(l,x) = cosα, и тогда

cos(l,y) = cos(90˚-α) = sinα.

Дальше: ∂f /∂х = 6x – 6y; ∂f /∂y = 2y – 6x.

Подстановка в формулу (1) дает

∂f /∂l = (6x - 6y)cosα + (2y- 6x)sinα;

в точке А(-1/3;-1/2)

∂f /∂l= [6(-1/3) - 6(-1/2)]cosα + [2(-1/2)-6(-1/3)]sinα,

т.е. ∂f /∂l = cosα + sinα.

Теперь нам надо найти те значения α, при которых ∂f /∂l имеет значение: а) наибольшее, б) наименьшее, в) равное нулю.

Обозначим u = cosα + sinα и найдем экстремум этой функции

= - sinα + cosα. Из уравнения –sinα + cosα = 0 следует, что tgα = 1, а

α = π/4 + kπ.

Считая, что α может изменяться от 0 до 2π, из последней формулы получаем: при k=0 α₁=π/4; при k=1 α₂=5π/4, = -cosα-sinα, и т.к.

(π/4)= -cos(π/4)- sin(π/4)= - , то при α1= π/4 функция u достигает максимума, а вместе с тем и наибольшего значения.

Таким образом, производная ∂f/∂l нашей функции имеет наибольшее значение по направлению, составляющему с положительным направлением оси ОХ угол α = π/4.

При α = 5π/4 имеем (5π/4) = >0. Производная ∂f /∂l имеет наименьшее значение по направлению, составляющему с положительным направлением оси ОХ угол α = 5π/4.

Ответим теперь на последний вопрос задачи: надо найти то значение α, при котором ∂f/∂l = 0, т.е. при котором cosα + sinα = 0. Решая это уравнение, имеем cosα = - sinα; tgα = -1 и для α, содержащегося между

0 и 2π, получаем α = 3π/4 и α = 7π/4.

Другое решение этой же задачи: мы нашли, что направление наибыстрейшего роста функции составляет с положительным направлением оси ОХ угол α = π/4. Известно, что направление наибыстрейшего роста функции в данной точке совпадает с направлением вектора, являющегося градиентом этой функции, который определяется формулой

grad f = (3)

а длина его находится по формуле

│grad f│= (4)

Для нашей функции f(x,y) = 3x² - 6xy + y²

grad f = (6x-6y) + (2y-6x) ,

а в точке А(-1/3;-1/2) (grad f)_{x= - 1/3} = + .

^{y= - 1/2}

Длина вектора grad f в этой точке

│grad f│= ,

а его проекции на оси прямоугольной системы координат равны

(grad f)_x =1; (grad f)_y =1.

Известно, что направляющие косинусы вектора находятся по формулам cosα = a_x/│ā│; cosβ = a_u/│ā│;

в нашем случае вектор grad f в точке А(-1/3;-1/2) имеет направляющие

в нашем случае вектор grad f в точке А(-1/3;-1/2) имеет направляющие косинусы cosα =1/ = /2; cosβ =1/ = /2.

Значит, вектор grad f составляет в точке А(-1/3;-1/2) с положительным направлением оси ОХ угол α = π/4. Этого и следовало ожидать потому, что этот вектор указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке, а мы нашли, что производная ∂f/∂l, определяющая скорость изменения функции, достигает своего наибольшего значения именно по

направлению , составляющему угол α = π/4 с положительным направлением оси ОХ.

Пример 4. Определить производную функции

f(x,y,z) = x²y² + x²z² + y²z²

в точке А(1/ ,1/ ,1/ ) в направлении , составляющем с осями прямоугольной системы координат ОХ, ОУ, ОZ углы, соответственно равные α,β,γ, градиент этой функции, его величину и направляющие косинусы.

Дата добавления: 2015-08-13