Замечание 2. Если помимо существования всех частных производных добавить еще и требование их

Если помимо существования всех частных производных добавить еще и требование их непрерывности, то из этого уже будет вытекать дифференцируемость функции.

Справедлива следующая теорема:

Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные в точке (x,y), частные производные (x,y), (x,y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных

dz=

По определению для любой дифференцируемой в точке (x,y) функции z=f(x,y)

dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy

Полагая, в частности, z=x (т. е. f(x,y) ) получаем

dz=dx=1Dx+0Dy=Dx

т. е. dx=Dx

Аналогично пусть z=y, тогда dy=Dy

Т.о. дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных итогда dz= (x,y)dx + (x,y)dy

dz=

Или (2)

Эта форма записи дифференциала называется инвариантной т. е. дифференциал функции z=f(x,y) сохраняет один и тот же вид независимо то того, являются ли ее аргументы u и v независимыми переменными или функциями то независимых переменных

Доказательство:

Пусть z=f(x,y), где x=x(u,v) y=y(u,v) x,y дифференцируемы в точке (u,v) f(x,y) дифференцируема в точке (x,y)

Тогда z=f(x(u,v), y(u,v)) будет дифференцируема в точке (u,v)

На основании (2)

d z=

Используя правило дифференцирования сложной функции:

dz= + =

Т.о. если х и у -независимые переменные и х и у –зависимые переменные, то

dz=

дифференциал

В связи с этим данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной.

Дата добавления: 2015-08-13