Высших порядков

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка:

(18.21)

(18.22)

(18.23)

(18.24)

Частные производные (18.21–18.24) обозначают также (соответственно)

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и высших порядков.

В частности,

Подобным образом определяются производные высшего порядка функции трех и более переменных.

Частная производная второго порядка и выше, взятая по различным переменным, называется смешаннойчастнойпроизводной.

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования, например,

Дифференциал второго порядка функции определяется формулой

(18.25)

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков.

Справедлива формула

(18.26)

Если функция имеет непрерывные частные производные, и переменные х и у являются независимыми, то дифференциалы второго и третьего порядков вычисляются по формулам:

(18.27)

(18.28)

Для всякого формула вычисления дифференциала порядка по форме записи аналогична формуле бинома Ньютона:

(18.29)

Пример 1. Вычислить частные производные второго порядка функции:

1) 2) в точке

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:

Далее дифференцируем полученные производные по x и по y каждую:

2) Находим частные производные первого порядка:

Полученные равенства дифференцируем еще раз по x и по y:

Найдем значения частных производных в точке

Пример 2. Найти частную производную функции

Решение. Найдем частную производную 1-го порядка

Продифференцировав полученное равенство дважды по z, получим:

Дифференцируем последнее равенство дважды по х:

Пример 3. Найти дифференциал четвертого порядка функции в точке

Решение. По формуле (18.29) имеем:

где – биномиальные коэффициенты, которые найдем по формуле

или по треугольнику Паскаля.

Формула вычисления принимает вид:

(18.30)

Найдем частные производные:

Вычислим значения частных производных в точке

Подставляя все значения в формулу (18.30), получим:

Дата добавления: 2015-08-13