Основная теорема зацепления

Общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент зацепления делит линию центров колес на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Следствие 1. Проекции скоростей на общую касательную не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от скорости скольжения .

Скольжения не будет только тогда, когда , т. е. в момент зацепления зубьев на линии центров.

Следствие 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р.

Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными (r_{ω 1} и r_{ω 2}).

Расстояние по дуге начальной окружности между двумя соседними зубьями называется шагом по начальной окружности (P_{ω 1} и P_{ω 2}). Так как начальные окружности – центроиды, то P_{ω 1} = P_{ω 2} = P_ω.

Числа зубьев колес обычно обозначаются через z (z ₁и z ₂). Тогда следующие равенства очевидны: и .

Из основной теоремы зацепления для круглых колес имеем:

, (7.1)

т. е. передаточное отношение пары зубчатых колес с неподвижными осями обратно пропорционально числу зубьев, взятому с соответствующим знаком. Для внешнего зацепления – знак «минус», для внутреннего – «плюс».

В настоящее время в машиностроении и приборостроении основной кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная Л. Эйлером в 1754 г.

7.4. Эвольвента и её свойства

Эвольвента представляет собой развертку круга (рис. 71, а).

Рис. 71. Образование эвольвенты

Развертываемую окружность (эволюту) принято в теории зубчатых колес называть основной окружностью радиуса r_b. Из способа образования эвольвенты следует, что всегда АВ = AM, т. е.:

.

Отсюда: , а из :

. (7.3)

Это уравнение является параметрическимуравнением эвольвенты в полярных координатах. Полярнаяось при этом проходит через начало эвольвенты (точка В). Угол – центральный угол между полярной осьюи радиус-вектором в точку М. Разность () частовстречается в теории зубчатых колес и дляупрощения расчетов представлена в справочных таблицах под названием «Инволюта угла »:

.

Следующие свойства эвольвенты, используемые в зубчатых колесах, очевидны:

- нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности;

- радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке равен расстоянию от эвольвенты до точки касания нормали с основной окружностью, т. е. РM = AM;

- две эвольвенты одной окружности эквидистантны, т. е. равно отстоят друг от друга (M ₁ N ₁ = M ₂ N ₂) (рис. 71, б).

Определение эвольвенты и ее аналитическое уравнение используются также для графического построения эвольвенты.

Дата добавления: 2015-08-09