Замена переменных в кратных интегралах.

В тех случаях, когда расстановка пределов интегрирования и/или вычисление многократных интегралов изнутри наружу затруднительно, используют замену переменных. Рассмотрим выполнение этой работы на ДИ.

При этом будем придерживаться естественного принципа – наиболее простое разбиений – это разбиение на =dxdy, т.е. в виде прямоугольников. Это значит, что произвольную площадку после замены желательно иметь в виде прямоугольника.

Выясним требования, которым должны удовлетворять формулы перехода. Пусть мы делаем переход по формулам x=x(u;v) и y=y(u;v). И при этом часть плоскости хОу должна быть заменена прямоугольником на плоскости uOv. Руководствуемся Рис 13.2.

P₁ P’₁

D D’

P_o P₂ P’_o P’₂

Рис 13.2. К замене в ДИ

Пусть при указанных формулах замены получаем соответствие точек: точке P_o соответствует P’_o; точке P₁ соответствует P’₁; точке P₂ соответствует P’₂. Т.к. координаты точек P’_o(u_o;v_o); P’₂(u_o+ ;v_o); P’₁ (u_o;v_o+ ). А компоненты векторов найдены из таких соображений.

Первая координата вектора имеет вид x(u_o+ ;v_o)-x(u_o;v_o)=x’_u , полученный по формуле Лагранжа. Аналогично остальные координаты. Поэтому элемент разбиения области D приближенно рассматривать как параллелограмм и его площадь вычислять по формуле

= = . А после вычисления определителя по элементам третьего столбца получаем замену на новое выражение . Выражение J= принято называть якобианом перехода. После этого формулируем требования теоремы: если x=x(u;v) и y=y(u;v) непрерывны в области D вместе со своими частными производными и якобиан перехода не равен нулю в точках D, то справедлива формула перехода к новым координатам в ДИ = dudv. Далее вычисление в новой системе координат.

Наиболее распространенной при вычислении ДИ является полярная система координат , . Легко вычислить якобиан J= .

Комментарий. Следует быть осмотрительным при расстановке пределов интегрирования в ДИ в полярной системе координат по известному алгоритму. Дело в том, что проектирование там реализуется не параллельное (перпендикулярное), а центральное (система то полярная). Поэтому внешний интеграл всегда берут по переменной ф и проектирование идет в секторе изменения угла. А далее как обачно, т.е. в секторе проводят луч (аналог перпендикуляра). И еще. При построении D в полярной системе следует помнить, что - это расстояние и оно неотрицательно.

Пример 13.1. Вычислить по четверти круга радиуса R c центром в начале координат и расположенного в первой четверти.

Решение. Несмотря на то, что представить данный интеграл в виде повторного не представляет труда, отметим, что он в декартовых координатах будет неберущимся. Сделаем переход к полярным координатам и получим = =0,5 =0,5 =0,5 (е⁴-1).

При вычислении тройных интегралов используют цилиндрическую или сферическую систему координат. Формулы перехода для цилиндрической системы , а для сферической системы . При этом следует быть внимательным к последним формулам. В них формулы могут быть иными, в зависимости от того, как отсчитывают угол . Его можно отсчитывать от плоскости ХОУ (от горизонта, угол места у артиллеристов и топографов) или от вертикали (угол склонения у астрономов). На основании этих формул получим разные по виду якобианы.

Дата добавления: 2015-07-26