Читайте также:
|
В тех случаях, когда поиск первообразной не реализуемо в квадратурах, используют приближенные методы вычисления определенного интеграла. Рассмотрим некоторые из них. Все рассматриваемые методы основаны на аппроксимации (приближенной замене) подынтегральной функции некоторой более простой для работы функцией.
Метод прямоугольников. В основу метода прямоугольников положена теорема о среднем 
f(х)dх=f(c)(b-a), где точка С принадлежит отрезку [a;b]. Если же отрезок [a;b] разбить на n (желательно одинаковых) частей, то указанную формулу можно применить на каждом участке разбиения. А в качестве точек типа С брать, например, левые концы участков разбиения. В этом случае, криволинейная трапеция (определенный интеграл) будет заменена ступенчатой фигурой. Высота ступенек будет равна значению подынтегральной функции на левых концах отрезков разбиения. Т.е. функция f(x) будет аппроксимирована кусочно постоянной функцией. Площадь каждой ступеньки будет приближенно равна f(сk)h, где h – длины участков разбиения (шаг интегрирования). Поэтому получаем приближенную формулу вычисления f(х)dх методом прямоугольников f(х)dх=h 
. Если же в качестве точек сk брать правые концы участков разбиения, то получаем другую похожую формулу прямоугольников f(х)dх=h 
. Обе формулы обеспечивают вычисление ОИ с погрешностью, которая не превышает величины 
, где М1 =max f’(x) для x из [a;b].
Метод трапеций. Если после разбиения отрезка [a;b] на части (желательно одинаковые по длине) аппроксимировать f(x) ломаной, которая соединяет точки (xk; f(xk)) и (xk+1; f(xk+1)), то на каждом участке разбиения криволинейная трапеция будет аппроксимирована обычной трапецией с основаниями f(xk) и f(xk+1) и высотой h. После суммирования всем частичных трапеций получим приближенную формулу для вычисления ОИ f(х)dх=h(0,5(f(xo)+ f(xn))+ 
). Погрешность результата не превышает величины 
, где М2 =max f’’(x) для x из [a;b].
Метод парабол (Симпсона). Если после разбиения отрезка [a;b] на части (желательно одинаковые по длине) числом 2n (т.е.четное) аппроксимировать f(x) параболой ax2+bx+c на каждой сдвоенной полосе, то получим формулу Симпсона. Тот факт, что такие параболы существуют, не вызывает сомнения. В самом деле, у каждой параболы на каждом участке неизвестны три коэффициента a,b,c. И при разбиении на четное число частей имеются в наличии три точки (xk-1; f(xk-1)), (xk; f(xk)) и (xk+1; f(xk+1)). Т.к. эти точки расположены на параболе ax2+bx+c, то мы получаем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными a,b,c на каждой сдвоенной полосе. А именно
Легко видеть, что определитель этой системы для трех чисел подряд xk-1, xk и xk+1 не равен нулю (т.к. это определитель Ван-дер-Монда) и потому система имеет единственное решение. Это означает, что через указанные три точки проходит единственная парабола указанного типа. Будем считать, что мы ее нашли. Это означает, что можно теперь интегрировать на каждой сдвоенной полосе уже не исходную функцию (которую мы не смогли проинтегрировать в самом начале работы), а найденную нами параболу (что всегда можно сделать). Затем полученные частичные интегралы сложить и получить ответ.
Вычислим определенный интеграл на некоторой сдвоенной полосе, используя вышеприведенные рассуждения.
Пусть мы вычисляем интеграл 
f(х)dх, т.е. только на отрезке [xk-1; xk+1]. Пусть выбрана парабола ax2+bx+c. Легко видеть, что площадь сдвоенной полосы не изменится, если эту полосу сдвинуть так, чтобы начало отрезка
[xk-1; xk+1] совпадало с началом координат. Тогда мы получим отрезок [0;2h] и на нем в трех точках 0, h и 2h заданы значения f(xk-1), f(xk) и f(xk+1). В этом случае система уравнений для определения коэффициентов a,b,c принивает вид
Система имеет единственное решение: с= f(xk-1),
b= 
, a= 
. Теперь вычислим площадь сдвоенной полосы Sk= f(х)dх= 
f(х)dх= 
= 
). Отсюда видно, что площади сдвоенных полос при такой аппроксимации выражаются полностью через длину шага интегрирования и значения подынтегральной функции в точках деления отрезка [a;b] на четное число частей. Если теперь просуммировать все площади сдвоенных полос, то получим приближенную формулу парабол (Симпсона)
f(х)dх= 
(f(xo)+4f(x1)+2f(x2)+…+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)), (7.4)
погрешность результата которой 
, где М4 =max fIV(x) для x из [a;b].
Пример 7.7. Вычислить по формуле Симпсона 
, сохраняя в вычислениях 5 знаков после запятой и разбив отрезок интегрирования на 4 части. Решение. При разбиении отрезка [0;1] на 4 части шаг интегрирования равен h=0,25. Точками разбиения отрезка [0;1] будут xo=0; x1= xo+h=0,25; x2= xo+2h=0,5; x3=xo+3h=0,75; x4=xn=xo+4h=1. Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения отрезка [0;1] b проведем расчет
Номер xi f(xi) 2f(xi) 4f(xi)
узла i
 |
0 0 1,0000
1 0,2500 0,9394 3,7556
2 0,5000 0,7768 1,5536
3 0,7500 0,5698 2,2792
4 1,0000 0,3679
 |
Суммы 1,3697 6,0348 1,5536
Получаем = 
(1,3697+6,0348+1,5536)=0,7469=0,747.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Несобственные интегралы. | | | Приложение определенного интеграла. |