Методы интегрирования.

Пусть х=ф(t) –монотонная и непрерывная на некотором промежутке функция. Если на соответствующем промежутке изменения переменной х функция f(x) интегрируема, то справедливо равенство = .

Записанное равенство называют формулой замены в неопределенном интеграле. Применяют ее тогда, когда правая часть оказывается ближе к табличному интегралу (см. Комментарий выше).

Док. В самом деле, т.к. F(x) - первообразная для f(x), то F(ф(t)) – будет первообразной для f(ф(t))ф’(t). И потому F’(ф(t))= F’_ф(ф(t))ф’_t(t)= f(ф(t))ф’(t). Откуда следует f(ф(t))ф’(t)dt= F(ф(t))+C= F(x)+C= .

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х на некоторое выражение, а выражение, связывающее х, заменяют одной переменной. А далее – как обычно.

Пример 7.1. Найти = делаем замену lnx=t, =

= Costdt=-Sint +C= -Sinlnx +C.

Иногда замену переменных используют в еще одном виде – подведении под знак дифференциала, используя простое соотношение dx= d(ax+b) для любых а 0 и в. По знак дифференциала подводят такую группу, чтобы интеграл сменил аргумент интегрирования (см. следствия из определения) и при этом принял табличный вид.

Пример 7.2. = Cos (lnx) d(lnx) =-Sinlnx +C – результат совпадает с примером 7.1.

Пусть каждая из u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и существует первообразная для произведения u’(x)v(x). Тогда на этом промежутке существует первообразная для u(x)v’(x) и справедливо равенство

udv = uv - vdu, называемое формулой интегрирования по частям.

Док. Имеем равенство (uv)’=u’v+v’u. Проинтегрируем его и получим

uv = vdu+ udv. Откуда легко получить требуемое.

Комментарии.

1. Рекомендации по применению этой формулы.

Т.к. теорема доказана в общем случае, то применять ее можно всегда.. Однако наибольшего эффекта можно добиться, если применять ее, когда под интегралом записано произведение функций Pn(x)e^ax; Pn(x)Sinkx (или другая тригонометрическая функция); e^axCoskx (или другая триг. функция); Pn(x)lnbx и т.д.

2. Возможно одного шага применения формулы недостаточно. Тогда ее приме-

няют кратно.

3. Возможно применение формулы приведет к сохранению подынтегрального

выражения. Не следует тревожиться по такому случаю, т.к. это даже хорошо.

4. Выбор частей u и v основан на опыте. Только решение конкретных примеров обеспечит навыком выбора частей.

Пример 7.3. Простой интеграл xdx при выборе частей u=x, dv=dx откуда du=dx и v=x приводит нас по формуле интегрирования по частям а равенству xdx =х² + xdx. Откуда следует равенство 2 xdx = х². Откуда

xdx = х² /2+C.

Дата добавления: 2015-07-26