Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть D - любая плоская фигура. Назовем всякий многоугольник, содержащий D описанным около ее, а любой многоугольник, содержащийся в ней щ вписанным.

Опр. Если существуют последовательности площадей вписанных и описанных около D многоугольников, причем эти последовательности имеют общий предел при неограниченном увеличении числа их сторон, то D называют квадрируемой (имеющей площадь), а указанный предел – площадью фигуры D.

Именно при таком негласном (default) определении была вычислена площадь криволинейной трапеции.

Отсюда следует, что площадь произвольной фигуры можно вычислить как разность двух площадей криволинейных трапеций. У этих трапеций общее основание, боковые стороны. А отличаются они верхней стороной. У большей из трапеций верхняя сторона f₂(x), а у меньшей – f₁(x). В результате площадь произвольной фигуры равна (f₂(x)- f₁(x))dx.

Если же фигура задана криволинейным треугольником ОАВ в полярной системе координат Рис 7.1, то поступаем так: в секторе изменения угла ф,

А ф занимаемом треугольником

ОАВ проведем два достаточ-

но близких луча, угол между

В которыми равен ф. Тогда

площадь выделенного сек-

тора приближенно

О поляра

Рис 7.1. К вычислению площади.

равна S=0,5 Sin ф= 0,5 ф, ввиду того, что при малых изменениях ф величина остается практически неизменной (одно из требований к величине Q см. общую постановку), а Sin ф эквивалентен ф при малых значениях ф. После суммирования и перехода к пределу получаем формулу для вычисления площади криволинейного треугольника ОАВ в полярной системе координат S_OAB=0,5 ф. Эту формулу легко обобщить на произвольную фигуру в полярной системе координат S= 0,5 ( - ) ф.

Дата добавления: 2015-07-26