Вычисление длин дуг плоских кривых.

Пусть дана дуга плоской кривой y=f(x) от точка А(х₁,f(x₁)) до точки В(х₂,f(x₂)). Впишем в эту дугу ломаную и подсчитаем периметр ломаной.

Опр. Если существует предел периметров ломаных, вписанных в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно увеличивается, а максимальная длина звена ломаной неограниченно уменьшается, то дугу назовем спрямляемой (имеющей длину), а этот предел назовем длиной дуги.

По этому определению длина дуги отвечает всем требованиям для применения ОИ.

А

l

у

В

О х х

Рис 7.2. К вычислению длины дуги плоской кривой.

Выберем одно достаточно малое звено ломаной l. Тогда получаем равенство l= = х = х . После суммирования и перехода к пределу в сумме получим формулу для вычисления длины дуги заданной кривой L= dx.

Если же дуга кривой задана параметрически , то l= = t = t . После суммирования и перехода к пределу в сумме получим формулу для вычисления длины дуги заданной кривой L= dt.

Если же кривая задана в полярной системе координат уравнением , то сначала вычислим приближенное значение х=x’(ф)dф=( Cosф)’_фdф=( ’_фCosф - Sinф)dф, т.к. х= Cosф. Затем

у=у’(ф)dф=( Sinф)’_фdф=( ’_фSinф + Cosф)dф, т.к. y= Sinф.

имеем равенство l= = dф или после преобразования под корнем l= dф. Если теперь полученное просуммировать и перейти к пределу, то получим формулу для вычисления длины дуги заданной кривой L= dф.

Дата добавления: 2015-07-26