Рациональные дроби.

Определение. Рациональной дробью называют выражение . Где Pn(x) и Qm(x) – полиномы от переменной х.

Определение. Простейшими дробями 1-4-го типов называют выражения, соответственно, вида: ; ; ; , где квадратные трехчлены в знаменателях не имеют действительных корней.

Интегралы от простейших дробей находят по таким схемам.

I-й тип. Вынесем за знак интеграла константу А и подведем под знак дифференциала знаменатель. Получим dx=А =Aln(x-a)+C.

II-й тип обработаем аналогично I-му. Но используем интеграл от степени.

III-й тип. Обрабатываем в несколько приемов.

1-й. Сначала найдем производную от знаменателя 2x+p.

2-й шаг. Если в числителе С не нуль, то преобразуем числитель к виду суммы производной от знаменателя и константы Cx+D= (2x+p)+D- .

3-й шаг. Разобьем исходный интеграл на сумму двух интегралов, числитель первого – производная 2х+р; числитель второго – константа

dx== dx+ (D- ) .

4-й шаг. После подведения числителя 1-го слагаемого под знак интеграла первое слагаемое дает табличный интеграл от логарифма знаменателя. Во втором слагаемом в знаменателе выдели полный квадрат в трехчлене и тогда второе слагаемое даст arctg(…). Получаем dx = ln(x²+px+q)+

(D- ) = ln(x²+px+q)+ (D- ) arctg +K.

Комментарий. Рекомендуется не запоминать окончательный ответ (хотя и не возбраняется), а пройти на паре примеров весь алгоритм. Этого будет достаточно для усвоения процесса. Этот процесс встречается очень часто в других разделах математики и других дисциплин (ТОЭ, механика, сопромат).

IV-й тип обрабатывается по схеме типа III. Только в конце всегда получается типовой интеграл, который обрабатывают по рекуррентной формуле

= + (7.1)

Эту формулу можно получить такими приемами: =

= = = ( - ).

Первый интеграл сохранить, т.к. в нем степень знаменателя понижена. Во втором интеграле применить формулу интегрирования по частям, выбрав u=t остальное dv. И тогда степень знаменателя понизится. Затем привести подобные по интегралам с одинаковыми знаменателями степени k-1.

Пример 7.4. Найдите интеграл dx. Решение. Подынтегральное выражение – простейшая дробь 4-го типа, т.к. трехчлен не имеет действительных корней. Производная от трехчлена равна 2х+2. Преобразованный числитель имеет вид 0,5(2х+2) –2, а подынтегральная дробь приводит на с интегралам 0,5 dx-2 dx. Далее первый интеграл дает после подведения под знак дифференциала 2х+2 0,5 и по формуле для степенной функции получаем . Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат и преобразуем аргумент интегрирования – подведем под знак дифференциала константу 1. Получим . Далее работаем по рекуррентной формуле (7.1) при к=2 и t=x+1 и m= . Получаем

= + =

= + arctg . Если учесть первый интеграл и коэффициент –2 перед вторым интегралом, то получаем dx=

= - - arctg +С =- - arctg +С.

Теперь строим алгоритм интегрирования рациональной дроби.

1-й шаг. Проверяем, будет ли правильной (будет ли m>n)? Если будет, то переходим к шагу 3. Иначе выполняем шаг 2.

2-й шаг. Делим числитель на знаменатель ‘уголком’. Представляем неправильную дробь в виде суммы целой части и правильной дроби . От целой части берем интеграл как о суммы степеней. Для отыскания интеграла от правильной дроби выполняем шаг 3.

3-й шаг. Находим корни полинома Qm(x) и разлагаем его на множители

Qm(x)=(x-a)^k1(x-b)^k2…(x-c)^k3(x²+p₁x+q₁)^k4+(x²+p₂x+q₂)^k5+…+(x²+p₃x+q₃)^k6. При этом k₁+k₂ +… +k₃ +2k₄ +2k₅ +…2k₆ =m, а числа этом k₁, k₂,…, k₃, k₄ , k₅, …,k₆ - кратности корней.

4-й шаг. Записываем правильную дробь в виде суммы правильных простейших дробей

= + +… +… + +… +…

+ +…+ +…. Количество дробей должно быть равно количеству множителей в разложении с учетом кратности.

5-й шаг. Приводим сумму дробей справа к общему знаменателю. Т.к. между дробями стоит знак равенства и знаменатели равны, то приравниваем числители. Поучаем равенство двух полиномов одинаковой степени. Такие полиномы равны, если: равны коэффициенты при одинаковых степенях х; подставить в обе части равенства одинаковые значения аргумента.

6-й шаг. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в полиномах справа и слева и(или) подставляем в обе части некоторые значения аргументов (если корни действительные и простые, и если корни комплексные и простые). Получаем линейную систему с неизвестными коэффициентами. Решаем систему и получаем конкретные простейшие дроби.

7-й шаг. Интегрируем сумму простейших дробей и вместе с результатом шага 2 получаем ответ.

Пример 7.5. (Кручкович, стр. 258) Найдите интеграл

dx. Решение. Дробь неправильная. Разделим числитель на знаменатель 5х³+9х²-22х-8 х³-4х

- 5х³ -20х 5

9х²-2х-8 В результате интеграл принимает вид

dx= dx+ dx. Разложим знаменатель на множители, а затем подынтегральную правильную дробь на простейшие. Получаем = + + .

Комментарий. При записи последнего равенства опущены рекомендуемые действия: сначала подсчитали число множителей, на которые разложен знаменатель: их 3; затем записали символическую сумму дробей

+ +; затем записали знаменатели дробей и получили

+ + ; теперь, когда известен вид знаменателей, записываем числители по виду простейших дробей + + .

Продолжаем работу. Приведем справа к общему знаменателю и приравняем числители обеих дробей =

= откуда 9х²-2х-8=

=А(х-2)(х+2)+Вх(х+2)+Дх(х-2).

В последнем равенстве можно справа раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые по степеням х; затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Можно в обе части подставить некоторые значения аргумента х. Выполним для контроля оба эти действия. При этом скобок раскрывать не будем, а сделаем это устно. Приравняем коэффициенты при х². Слева коэффициент при этой степени 9. А справа эта степень будет записана с коэффициентом (А+В+Д), что можно увидеть сразу. Теперь коэффициенты при х: слева –2, а справа 2В-2Д. Теперь при х^о (свободные члены): слева –8, а справа -4А. Получаем систему

Если же мы подставим в обе части равенства полиномов последовательно значения х=0; х=2; х=-2, то получим систему

В обоих случаях получаем А=2; В=3; Д=4.

Комментарий. Но вторая система проще, если корни действительные разные.

Окончательно получаем dx= dx+ dx= 5х+ dx+ dx+ dx=5x+2lnx+3ln(x-2)+4ln(x+2)+C. Можно упрощать.

Дата добавления: 2015-07-26