Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции – плоской фигуры, ограниченной снизу отрезком [a;b] оси Ох; сверху – графиком неотрицательнoй функции f(x), заданной на этом отрезке; сбоку – вертикалями x=a, x=b.

Решение. Разобьем [a;b] на n частей достаточно малой длины точками. В каждой точке разбиения восставим перпендикуляр к отрезку (к оси Ох). На каждом участке разбиения возьмем точку Мк, к=1,2,…, n. Вычислим значение f(Mk) в каждой точке Мк. Если участки разбиения достаточно малы, то площадь каждой полоски приближенно равна Sk =f(Mk) x_k. Просуммируем площади и получим приближенное значение площади криволинейной трапеции . Если теперь вычислить предел этой суммы при nà и максимальном x_k à0, то это предел и даст нам значение площади криволинейной трапеции.

Задача о работе. Пусть задана сила , направленная вдоль Ох. Требуется вычислить работу этой силы на прямолинейном участке пути (отрезке) [a;b].

Решение. Разобьем [a;b] на n частей достаточно малой длины точками с таким расчетом, чтобы величину силы на каждой части разбиения можно было считать приближенно постоянной. На каждом участке разбиения выберем точку Мк, к=1,2,…, n. Вычислим значение работы постоянной по величине и направлению силы на каждом участке разбиения Аk =F(Mk) x_k. Просуммируем частичные работы и получим приближенное значение работы силы на всем отрезке . Если теперь вычислить предел этой суммы при nà и максимальном x_k à0, то это предел и даст нам значение работы постоянной по направлению сила на указанном отрезке.

Дата добавления: 2015-07-26