Несобственные интегралы.

Пусть f(x) непрерывна на [a; + ). Тогда она непрерывна и на [a;b] и потому f(х)dх= F(b) – некоторая функция от предела b.

Опред. Если при bà+ существует и равен конечному числу, то этот предел обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом и считают сходящимся. В противном случае символу f(х)dх ничего не приписывают, называют так же и считают расходящимся.

Аналогично дают определение символу f(х)dх. Если же имеется символ f(х)dх, то в нем сначала заменяют бесконечные пределы конечными параметрами, затем на отрезке между параметрами берут произвольную точку и вычисляют два предела: и . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то исходный символ называют несобственным с бесконечными пределами и расходящимся. Сходящимся он будет только, если оба слагаемые сходятся.

Зачастую работать с определением затруднительно. Тогда используют признаки сходимости.

Теорема. (признак сравнения) Если 0 g(x) f(x) и для любого х из

[a; + ) интеграл f(х)dх сходится, то сходится и интеграл g(х)dх. Если же при указанных условиях интеграл g(х)dх расходится, то расходится и интеграл f(х)dх.

Док. Вытекает из интегрирования неравенства.

Теорема. (предельный признак сравнения) Если =k не равному нулю и не равному , то интегралы g(х)dх и f(х)dх ведут себя одинаково в смысле сходимости. (без док.)

Комментарий.

В качестве ‘лакмусовой’ бумажки (мерительного инструмента) используют интеграл от степенной функции J= = . Иначе говоря при р больших 1 интеграл сходится, а в других случаях – расходится.

Опр. Если интеграл f(х) dх сходится, то сходится и интеграл f(х)dх и тогда последний называют абсолютно сходящимся.

Опр. Если интеграл f(х) dх расходится, а интеграл f(х)dх сходится, тогда последний называют условно сходящимся.

Пример. 7.7. . Выясним его характер. Для чего сравним подынтегральную функцию по модулю с функцией . Имеем < . А потому исходный интеграл сходится абсолютно.

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и имеет разрыв 2-го рода (неограниченна) в точке b. Тогда f(x) интегрируема на [a;b₁] для b₁<b. В этом случае f(х)dх=Ф(b₁) – функция от b₁.

Опр. Если существует конечный , то его обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом от разрывной функции и считают сходящимся.

В противном случае указанному символу ничего не приписывают и называют расходящимся несобственным интегралом от разрывной функции.

Аналогичная ситуация для непрерывной f(x) на [a;b] за исключением некоторой С [a;b]. В этом случае рассматривают два несобственных интеграла от разрывной функции на двух интервалах [a;С] и [С;b]. Если хотя бы одно слагаемое – интеграл расходящийся, то исходный интеграл считают расходящимся. В противном случае интеграл считают сходящимся.

Из последних определений следует, что до вычисления f(х)dх следует проверить, будет ли символ несобственного интеграла или это определенный интеграл. И только после этого приниматься за вычисления(работу).

Если же установить характер сходимости по определению затруднительно используют признаки сравнения с интегралом J= = . Иначе говоря, при p<1 интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Дата добавления: 2015-07-26