Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и потому интегрируема на [a;x], где х b. В этом случае f(t)dt зависит от х. Т.е. f(t)dt=Ф(х).

Теорема. Ф(х) – непрерывна на [a;b]. Док. Вычислим Ф(х)= Ф(х+ х)- Ф(х)= f(t)dt, который по теореме о среднем равен f(C) х. Где С между х и х+ х. Т.е. Ф(х)= f(C) х. Если хà0, то Ф(х) à0, а значит Ф(х) – непрерывна.

Теорема. Ф(х) – дифференцируема на [a;b]. Док. По найденному приращению Ф(х) найдем =f(x) – cм.выше.

Т.е. Ф’(х)=( f(t)dt)’_x =f(x). Аналогично ( f(t)dt)’_x =-f(x).

Следствие. Производная по верхнему пределу от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Комментарий. Фактически доказана теорема существования неопределенного интеграла. Именно f(x)dx= f(t)dt+C.

Из этих рассуждений следует формула Ньютона-Лейбница f(x)dx =F(b)-F(a). Док. Имеем Ф(х) = f(t)dt. Пусть F(x) – любая из этих первообразных. Т.е.

f(t)dt= F(x)+C. Из этого равенства при х=а получаем F(a)=-C. Или f(t)dt= F(x)-F(a). С другой стороны при х=b из того же равенства получаем

f(x)dx= F(b)-F(a). (7.2)

2.3.Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ ; ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от до значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф()=а, ф() = b, то для непрерывной на [a;b] функции f(x) справедливо равенство f(x)dx= f(ф(t))ф’(t)dt (7.3)

называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.

Док. В самом деле f(t)dt= F(b)-F(a), где F(x) первообразная для f(x). Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на

[ ; ], то По Ньютону-Лейбницу имеем f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф()) - F(ф())= F(b)-F(a) = f(t)dt.

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.

Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на этом отрезке и получим (uv)’dx= u’vdx + v’udx. Но т.к. uv есть первообразная для (uv)’, то получаем v’udx = uv - u’vdx (7.3)

Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ.

Дата добавления: 2015-07-26