Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах.

Пусть требуется вычислить от знакоположительной непрерывной f(M) по области D, расположенной в плоскости хОу. Изобразим цилиндроид для облегчения рассуждений.

Z=f(x;y)

Z=f(x_o;y)

криволинейная

трапеция

у

точка выхода на y=y₂(x)

Х=х_о

Х точка входа на y=y₁(x)

Рис 13.1. К расстановке пределов интегрирования в ДИ.

Проведем сечение цилиндроида плоскостью х=х_о. При этом цилиндроид будет рассечен по криволинейной трапеции. Площадь ее выражается определенным интегралом S(x_o)= . Т.к. х_о взято произвольно, то фактически имеем зависимость S (x). И тогда можно вычислить объем тела по площадям параллельных сечений из определенного интеграла V= =

= )dx. Последнее принято записывать так и называть повторным или двукратным интегралом. В этом интеграле [a;b] – проекция области D на ось Ох – пределы внешнего интеграла; y₁(x), y₂(x) – пределы внутреннего интеграла (они получены, если решить уравнение границы относительно переменной у для точек входа и выхода).

Теперь остается вычислить двукратный интеграл, начиная с внутреннего интеграла по формуле Ньютона-Лейбница в предположении, что х постоянная величина. Затем от полученного результата вычислить определенный интеграл по той же формуле. Это и будет ответ.

Естественно, что тот же результат получится, если провести сечение цилиндроида плоскостью у=у_о. Формула будет отличаться только порядком интегрирования .

Получаем алгоритм вычисления ДИ в декартовой системе координат.

1-й шаг – проанализируй, будет ли область D правильной (перпендикуляр к некоторой оси координат пересекает границу области не более, чем в двух точках).Если D не будет правильной, разбей ее на правильные части и выполни алгоритм для каждой части. Результаты просуммируй. Если область правильная, то перейди ко второму шагу.

2-й шаг- выбери ось координат, на которую D проектируется правильно. Спроектируй D на эту ось и получишь пределы интегрирования внешнего интеграла.

3-й шаг – в произвольной точке проекции восставь перпендикуляр к оси проекции. Найди точки входа и выхода. (Здесь могут быть ситуации о которых говорится Комментарии ниже.). Реши уравнения границ для точки входа и выхода относительно второй координаты и получишь пределы интегрирования внутреннего интеграла.

4-й шаг – вычисли внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

5-й шаг – от результата шага 4 вычисли внешний интеграл по той же формуле.

Комментарий. Может оказаться, что либо точка входа, либо точка выхода, либо обе точки при движении перпендикуляра по точкам проекции будут менять положение и располагаться на разных кривых, составляющих границу Г. В этом случае придется разбивать правильную область D на отдельные подобласти в виде полос, стыкующихся вдоль этих перпендикуляров. Делать это надо так, чтобы каждая точка входа для каждой точки выхода располагалась только на одной кривой границы Г. Иначе окажется невозможным выставить пределы интегрирования внутреннего интеграла. После разбиения D на полосы следует выполнять алгоритм для кадой полосы а результаты просуммировать.

Если распространить этот алгоритм на процесс вычисления тройного интеграла, то сразу видно, что в работу добавится еще одно проектирование объекта V (на выбранную плоскость координат) для получения области D и еще один внутренний интеграл, для которого принцип расстановки пределов повторится. Получим = или в другом порядке.

Дата добавления: 2015-07-26