Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, (4.13)

то их векторное произведение имеет вид:

(4.14)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.13), получим, что

Строка (4.15) последнего выражения получена с учетом того, что

(4.16)

(Знак минус в этих произведениях получается вследствие нарушения порядка в тройке ортов .)

Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Если и , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12) и того факта, что условие при также является необходимым и достаточным.

11. Смешанное произведение 3 векторов.Геометрическая интерпретация.Свойства. Условия компланарности 3 векторов.

Определение 4.4. Если векторное произведение умножитьскалярно на вектор , то число называется смешанным произведением векторов и .

Теорема 4.6. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же перемножаемые вектора компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю.

Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов и исключим, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование (4.20)

(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).

Если же вектора и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

(4.21)

Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

12. Смешанное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах.

Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями по базису

,

то их смешанное произведение равно следующему определителю:

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:

Умножив скалярно этот вектор на вектор , получим,

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана.

13. Уравнение первой степени и прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Нормальный вектор. Прямая в отрезках.

Определение 5.1. Уравнение (5.1)

называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии , и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат есть полином некоторой степени.

Алгебраическая линия называется линией - го порядка если − полином степени .

Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна .

Без доказательства.

Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат , то любая прямая , принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени.

Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось совпадает с прямой, уравнение прямой «» совпадает с уравнением оси . В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится.

Пусть уравнение прямой имеет вид:

(общее уравнение прямой),

(5.1)

Пусть задана точка , координаты которой удовлетворяют уравнению.

. (5.2)

Вычитая (5.2) из (5.1), получаем:

. (5.3)

Дадим векторное истолкование уравнения (5.3).

Пусть и − координаты некоторого вектора , а и −компоненты вектора , начало которого совпадает с точкой , а конец совпадает с произвольной точкой , принадлежащей прямой.

Очевидно, что скалярное произведение

является условием ортогональности векторов и .

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Уравнение прямой в отрезках.

Дата добавления: 2015-07-26