Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение скалярного произведения. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения.

Читайте также:
  1. I Предопределение
  2. I. Кислотно-основные свойства.
  3. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И ПОНЯТИЙ
  4. I. Самоопределение к деятельности
  5. I.1. Определение границ пашни
  6. II. 6.1. Определение понятия деятельности
  7. II. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ СОРЕВНОВАНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. (Скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками.)

(4.1)

Используя представление проекции вектора на другой вектор, можно записать

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

5) = |a|2

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители.

Если вектора а и b заданы своими координатами: а = {X1;Y1;Z1}, b = {X2;Y2;Z2}, то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

ab = X1 X2+ Y1 Y2+ Z1 Z2.

7. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных компонентами в декартовой системе.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

Теорема. Если вектора и представлены в виде разложений по базису ,

, то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:

Доказательство. Перемножив векторные многочлены a и b, получим:

 

 

8. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов. Проекция вектора на другой.

Угол. Вопрос 7.(для определения скалярного произв. векторов)

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Теорема. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению вектора на орт вектор .

Доказательство.

 

9. Определение векторного произведения векторов. Тройка векторов. Алгебраические и геометрические свойства. Площадь параллелограмма.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом

и удовлетворяющий трем требованиям:

1) вектор ортогонален к каждому из векторов и ,

2) длина вектора равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними.

3) упорядоченная тройка векторов является правой.

Определение. У порядоченная тройка некомпланарных векторов является правой, если, после приведения векторов к общему началу, вектор располагается так, что из его конца кратчайший поворот от к виден происходящим в направлении против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)

Это утверждение справедливо для тройки векторов и для системы декартовых координат в пространстве.

Векторное произведение имеет следующие алгебраические свойства:

1) , (антиперестановочность)

2) ,

3) ,

4) .

Теорема. Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними, доказательство теоремы следует из формулы

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, то их векторное произведение имеет вид:


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 189 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. | И прямой | Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и а) параллельной данной прямой, б) перпендикулярной данной прямой. | Уравнение первой степени и плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор. | Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой. | Отклонение точки от плоскости. | Пучок и связка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи, решаемые с применением уравнения пучка. | Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение к каноническому виду уравнения прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Числовая ось. Прямоугольные Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Направленный отрезок и его проекции на оси координат.| Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)