Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Координаты направляющего вектора l, m, n: a = {l;m;n}.

Если известна одна точка M₀ (x₀;y₀;z₀) прямой и направляющий вектор a = {l;m;n}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

(1) В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки M₁ (x₁;y₁;z₁) и M₂ (x₂;y₂;z₂), имеют вид

(2) Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим:

= t. Отсюда x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt (3)

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (x₀;y₀;z₀) в направлении вектора a = {l;m;n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно имеющийся параметр, x,y,z – как функции от t; при изменении t величины x,y,z меняются так, что M (x;y;z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки M, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки M. При t = 0 M совпадает с точкой M₀. Скорость v точки M и определяется формулой:

V= Уравнение является уравнением прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁) и M₂ (x₂;y₂). Угол , называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой к:

к = tg =

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу. Считая от начала координат. Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле:

K = - .

Умножив выражение на число и подставив в него , получим:

(5.12)

Если принять обозначение , уравнение примет следующий вид:

. (5.13)

Здесь координата точки пересечения прямой с осью , в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси − .

Дата добавления: 2015-07-26