Отклонение точки от плоскости.

Пусть число − расстояние от точки до плоскости. Отклонение точки от плоскости , если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и , если точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости.

(6.14)

Здесь

(6.15)

Нормальное уравнение плоскости

(6.13)

и общее уравнение плоскости

(6.1)

определяют одну и ту же плоскость, следовательно существует такое число , что

(6.16)

(6.17)

Из четвертого равенства выражения (6.16) следует, что знак противоположен знаку . Число называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения плоскости достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .

Отклонение точки от плоскости получим, подставив координаты точки в уравнение (6.14).

1. Назовем отклонением d точки М от плоскости П число +d в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по разные стороны от плоскости П, и число -d - в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по одну сторону от плоскости П, (куда направлен вектор - “+d” и “-d” - в противоположном расположении точки М, если точка О лежит на плоскости).

Для нахождения отклонения d точки М0(x0,y0,z0) от плоскости П следует в левую часть нормированного уравнения плоскости П поставить на место х,у,z координаты x0,y0,z0 точки М.

Так как

А×х + В×у + С×z + D = 0

и

определяют одну ту же плоскость, то существует t такое, что

t×A = Cosa, t×B = Sinb, t×C = Sing, t×D = -p.

Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, то

t2×(A2+ B2+ C2)=1,

следовательно, , (2.10)

где знак t противоположен знаку коэффициента D.

Для приведения общего уравнения плоскости

А×х + В×у + С×z + D = 0 к нормированному виду следует умножить его на нормирующий множитель (2.10), знак которого противоположен знаку коэффициента D.

Дата добавления: 2015-07-26