Криволинейные интегралы 1-го года

Задача, приводящая к криволинейному интегралу 1-го рода. Вычислить массу неоднородной нити (дуги кривой, троса, провода, каната).

Решение. Поступаем так, как делали при решении задач с определенным интегралом. Делим дугу на достаточно малые участки, чтобы можно было приближенно считать плотность материала дуги на всем участке разбиения приближенно постоянной. Находим массу этого участка по формуле V. В данном случае плотность = (М), где М взята на участке разбиения; V= l, т.е. роль объема выполнит длина участка (о размерности речи не идет – главное существо дела). Тогда m= (М) l. После суммирования всех частичных масс и перехода к пределу, когда размеры максимального участка разбиения стремится к нулю, а число участков к бесконечности, получим массу всей дуги.

Пусть задана дуга непрерывная гладкая АВ и в каждой точке этой дуги задана функция f(M). Разобьем эту дугу точками на достаточно малые участки l. На каждом участке выберем точку М. Составим и вычислим сумму . Назовем эту сумму интегральной. Подсчитаем предел этой суммы при условии, что количество частей разбиения стремится к бесконечности, а длина максимального участка разбиения к нулю.

Опр. Если существует независимо от способа разбиения дуги АВ на участки и выбора точек М на участках разбиения, то это предел назовем криволинейным интегралом первого рода (КРИ-1) и обозначим .

Из определения КРИ-1 вытекает, что для него справедливы: теорема существования и основные свойства, аналогичные свойствам определенного интеграла. Из этих свойств не будет работать только одно – в котором идет речь о смене знака интеграла при смене направления интегрирования.

Для вычисления КРИ-1 используют приемы сведения его к определенному интегралу. Рассмотрим несколько таких случаев.

Пусть дуга АВ задана параметрически: x=x(t); y=y(t); z=z(t). Тогда для достаточно малого участка l справедливо равенство l= , т.к. l в этом случае можно рассматривать как диагональ прямоугольного параллелепипеда. Т.к. приращения можно заменить дифференциалами, то получаем l= =dl= = = dt. И после подстановки под знак интеграла получаем формулу для его вычисления

= f(x(t),y(t),z(t)) dt, где t_A и t_B значения параметра t для точек А и В.

Для плоской дуги АВ, заданной параметрически, выведенная формула остается справедливой, но содержит на одну компоненту меньше – отсутствует z(t).

Если же плоская дуга АВ задана явно y=f(x), то все рассуждения остаются в силе и мы получим несколько иное выражение, которое встречалось уже при вычислении длины дуги определенным интегралом

= f(x,y(х)) dt.

3.2. Криволинейные интегралы 2-го года

Задача. Вычислите работу переменной силы на криволинейном участке пути АВ.

Решение. Ранее мы уже решали задачи такого типа: в векторной алгебре вычисляли работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути; в приложениях определенного интеграла вычисляли работу переменной по величине и постоянной по направлению силы на прямолинейном участке пути. Теперь пришла очередь решать задачу общего вида – сила переменная (и по величине, и по направлению) и путь криволинейный.

Разобьем дугу на достаточно малые участки, чтобы можно было приближенно считать участок разбиения l прямолинейным (что уже неоднократно делали) и чтобы на каждом участке разбиения можно было приближенно считать действующую силу постоянной по величине и направлению. В этом случае можно приближенно вычислить работу А силы по перемещению точки на пути l по формуле А= как это мы делали в векторной алгебре. После суммирования всех частичных работ и перехода к пределу, когда максимальная длина участка разбиения стремится к нулю, а число участков – к бесконечности, мы получим искомую работу.

Пусть сила в пространстве имеется гладкая непрерывная кривая (дуга) АВ и в каждой точке М этой дуги задано поле = (М). Разобьем кривую АВ точками на отдельные достаточно малые участки l_к с таким расчетом, чтобы на каждом участке разбиения можно было считать величину и направление постоянными. На каждом участке разбиения выберем точку М_к. Составим и вычислим сумму . Назовем ее интегральной. Вычислим предел этой суммы .

Опр. Если указанный предел не зависит от способа разбиения дуги АВ на участки и выбора точки М_к на каждом участке разбиения, а зависит только от длины дуги АВ и поля , то этот предел назовем криволинейным интегралом 2-го рода (по координатам) и обозначим символом .

Комментарий. Ввиду того, что поле можно записать по разному, так же как и вектор , то можно получить другие символы для КРИ-2. Так, известно, что, если в пространстве введена декартова система координат, то можно записать = (М)=P(x,y,z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) =

(P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)), т.к - это просто вектор (с точки зрения векторной алгебры). Аналогично = dx +dy +dz =(dx;dy;dz). После чего мы получим несколько иные символы для КРИ-2

= (М) = P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz, т.к. под знаком КРИ-2 было записано скалярное произведение двух векторов. При этом не принято (хотя и не запрещается) выражение P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz под знаком интеграла забирать в скобки. Из такой записи КРИ-2 следует его название в некоторых книгах – криволинейный интеграл по координатам.

Из определения КРИ-2 следует его интерпретация как работы по перемещению точки в поле силы по криволинейной траектории.

Если траектория (дуга, путь) замкнута, то говорят и о циркуляции векторного поля по замкнутому контуру. В этом случае для КРИ-2 используют специальный символ

= P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz.

Теорема существования. Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерыны в каждой точке гладкой и кусочно непрерывной дуги АВ, то КРИ-2 существует.

Справедливы основные свойства, аналогичные свойствам определенного интеграла. Отметим одно важное – при смене направления движения по дуге АВ КРИ-2 меняет знак.

При вычислении КРИ-2 используют уже известные приемы сведения его к определенному интегралу.

Пусть дуга АВ плоская и задана явно y=f(x). Тогда естественно и поле плоское = P(x,y) +Q(x,y) и = dx +dy . Тогда КРИ-2 будет приведен к определенному по формуле

= (P(x,f(x))dx+ Q(x,f(x))f’(x)dx)= (P(x,f(x))+ Q(x,f(x))f’(x))dx.

Пусть дуга АВ плоская и задана параметрически x=x(t); y=y(t). Тогда для вычисления КРИ-2 получаем формулу

= (P(x(t),y(t)) y’_t(t)+ Q(x(t),y(t))y’_t(t))dt. Такая же формула, только с большим числом слагаемых будет получена, если АВ пространственная и задана параметрически.

Если интегрирование ведут по контуру, то договариваются движение по контуру считать выполненным в положительном направлении, если при движении по контуру, точки области, расположенной внутри контура остаются слева от движущегося. Такое направление движения считается согласовнным.

В приложениях важно связь интеграла по контуру с тем, что делается внутри контура (в лесном хозяйстве, охотоведении, топографии, электротехнике, нефтегазоразведке). В качестве примера приведем формулу для вычисления площади S, охватываемой контуром L.

Пусть дана односвязная область D с границей Г. Тогда площадь области можно подсчитать, как известно, определенным интегралом по формуле S= f₂(x)dx- f₁(x)dx, где у= f₂(x) – это та часть контура L, которая ограничивает область сверху (см.Рис 12.1); а у= f₁(x) – это та часть контура L, которая ограничивает область снизу.

у

d N y=f₂(х)

A

B

c

K y=f₁(x)

а b х

Рис 12.1. К вычислению площади по КРИ-2.

Но f₁(x)dx= ydx, а f₂(x)dx= ydx, т.е. представлены криволинейными интегралами по соответствующим кривым. Поэтому искомая площадь будет выражена так S= f₂(x)dx- f₁(x)dx = ydx - ydx. Но ydx взят против согласованного направления движения по контуру Г. А потому перед ним следует сменить знак. И тогда получим S= - ydx - ydx= =- ydx. Проделаем такую же работу после проектирования на ось Оу и получим еще одну формулу для вычисления площади области S= хdу. Просуммируем обе формулы площади и получим окончательно

S= хdу – ydx. На этой формуле и основана работа планиметра – прибора, после установки на шкале которого масштаба, достаточно прокатить роликом считывающего приспособления по границе области и на счетчике можно получить площадь этой области. Такую же работу делает охотник, прослеживая по границе леса количество входящих и выходящих из леса следов. После обхода он указывает количество обитающего в лесу зверя.

---

Дата добавления: 2015-07-26