Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегралы

Читайте также:
  1. Интегралы от функций комплексного переменного.
  2. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
  3. Криволинейные интегралы 1-го года
  4. Несобственные интегралы.

I. При определении производной некоторой функции F(х) необходимо найти некоторую функцию f (x), такую, что f (x)= F' (х).

Часто необходимо решать обратную задачу: если задана функция f(x), то необходимо найти такую функцию F (х), производная которой равна f (x), т.е. F' (х)= f (x). Функция F (х) называется первообразной от функции f (x), и она всегда находится с точностью до произвольной постоянной С.

F(х)+С называется неопределённым интегралом и обозначается как:

Нахождение первообразной F (х) для данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x).

В таблице 3 приведены первообразные F (х) простых функций f (x).

 

Таблица 2.

№ п/п Подынтегральная функция f (x). Первообразная F (х)
1. xn (n ≠ -1) x n+1/(n+1)
2. 1/x=x - 1 ℓn ‌‌‌/x /
3. sinx -cosx
4. cosx sinx
5. ex ex

 

II. Некоторые свойства неопределённых интегралов.

 

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , где а -постоянная.

Пример:

 

2. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

 

3. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

 

4. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная С:

Пример:

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

 

III. В курсе физики понятие определённого интеграла вводится при вычислении пути s, проходимого телом с переменной скоростью υ, или же работы A, совершаемой переменной силой F:

Выражение вида , составленное для значений х, заключённых в пределах от a до b, называют определённым интегралом от функции f(x), взятым по переменной х между нижним пределом х=а и верхним пределом х=b, и обозначают символом

.

Из курса высшей математики известно, что интеграл вида =

представляет собой площадь фигуры, ограниченной осью х, перпендикулярами, восстановленными к ней из точек х=а и х=b, и кривой y(x) (рис.10). В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Таким образом,: - путь, пройденный телом от момента времени t1 до момента времени t2, численно равен площади под зависимостью v(t) от t=t1 до t=t2.

- работа, совершённая переменной силой F(s) на участке пути s=s2 -s1.

- работа, совершаемая идеальным газом при изменении объёма от V1 до V2.

IV. ПРАВИЛА РАСЧЕТА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:

а).

Примечание: =0.

 

б).

в). = + + теорема о

разбиении интеграла.

Примечание: точки b,c принимают значения между a и d. Интервал

a – d можно разбить на произвольное число подынтервалов.

 

ПРИМЕР: на тело действует внешняя сила F=3·t2 (H). Чему равно изменение модуля импульса тела за промежуток времени от t1=1c до t2=2c?

РЕШЕНИЕ. Согласно второму закону Ньютона можно записать dp=F·dt. Найдём изменение модуля импульса, введя обозначения p(t1)=p1, p(t2)=p2 и проинтегрировав уравнение движения:

;

.

 

V. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дайте определение первообразной F (x) от некоторой функции f(x).

2. Почему неопределённый интеграл называется неопределённым?

3. Как вычисляется определённый интеграл?

4. В чём заключается геометрический смысл определённого интегра-

ла (рассмотрите работу расширения идеального газа на

p -V – диаграмме)?

 

 

VI. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Частице в момент времени t = 0 с сообщили скорость v0, после чего ее скорость стала меняться со временем по закону: v=v0 ·(1 – t/a), где а – положительная постоянная.

Найти перемещение ∆r за первые τ секунд движения.

2. Вычислить работу силы F = 2000·x при сжатии пружины вдоль оси х на 5см.

3. При некотором процессе давление идеального газа изменяется по закону p =3/V, где V – объем газа. Чему равна работа при этом процессе, если объем газа возрастает в 2,71828 раз?

4.Момент внешней силы, действующей на частицу, определен выражением:

Чему равен момент импульса частицы ?

 

Примечание: воспользоваться выражением для основного закона динамики вращательного движения: .

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ФИЗИКЕ | МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ | Пример 1. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ| ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)