Применение векторов в физике

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

В ПРИМЕНЕНИИ К ФИЗИКЕ

Методические указания к самостоятельной работе по физике

г. Набережные Челны,

2006 г.

УДК 530 (077)

Элементы высшей математики в применении к физике.

Составитель Н.Б.Юнусов.

Методические указания к самостоятельной работе по физике.

г. Набережные Челны:

ИНЭКА, 2006 г., стр.33.

Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения.

Ил. – 13; Табл.- 2; Список лит. -5 наименов.

Рецензент:	д.т. н., проф. каф. ММИТЭ А.К.Розенцвайг

Печатается по решению научно-методического совета Камской государственной инженерно-экономической академии.

Камская государственная инженерно- экономическая

академия, 2006г.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

I.	ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ФИЗИКЕ
I I.	ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ В ПРИМЕНЕНИИ К ФИЗИКЕ   К ФИЗИКЕ
III	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
IV	МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
V	ЛИТЕРАТУРА

Цель настоящих методических указаний – представить в сжатой форме элементы векторного анализа, дифференциального и интегрального исчислений в объёме, достаточном для изучения курса физики в техническом вузе.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ФИЗИКЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Вектор есть направленный отрезок, определяемый своей величиной (модулем) а ≡ , направлением в пространстве и точкой приложения. Направление вектора = а· задаётся единичным вектором , модуль которого │ │=1 (рис.1):

Вектор можно перемещать в пространстве в любом направлении параллельно самому себе.

Примеры		- радиус-вектор;		- перемещение;
векторов:		- скорость;		- ускорение;
		- сила;		- импульс.

2. Умножение вектора на действительное число k даёт вектор , направление которого определяется знаком числа k. Если k > 0, то направлен в ту же сторону, что и (рис. 2а). Если k < 0, то векторы и направлены в противоположные стороны (рис. 2б).

Примеры: , где -перемещение;

, где - гравитационная сила.

3. Два вектора и дают при сложении вектор , получающийся при использовании одного из двух приведённых на рис. 3 (а,б) способов.

4. Разность двух векторов и можно получить из выражения и легко понять из рис. 4.

Следствия из п.п. 3,4:

а) ;

б) вектор (рис.5), показывающий изменение векторной величины от первоначального значения до конечного значения , называется приращением вектора ;

в) п.п.3 и 4 используются в т.н. принципе суперпозиции (независимости действия), когда необходимо определить результирующую векторную величину: ; ; , где - результирующие скорость, сила и напряжённость поля, соответственно.

5. Скалярное произведение двух векторов и определяется как

скаляр: ,

где - угол между векторами и (рис.6).

Правила вычислений:

а) ;

б) (k, – скалярные величины);

в) для ортогональных векторов и : ;

г) для параллельных друг другу векторов и ( =0):

.

В частности и ( -единичный вектор).

д) для антипараллельных векторов ( =π):

.

Примеры скалярных произведений:

- работа постоянной силы;

- мгновенная мощность.

6. Векторное произведение двух векторов и представляет собой вектор , перпендикулярный обоим векторам и , направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к

(рис. 7 а, б).

Модуль вектора численно равен площади построенного на векторах и параллелограмма: с=а·b·sin (рис.7,в).

Правила вычислений:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Примеры:

а) - связь линейной и угловой скоростей;

б) и - моменты импульса и внешней силы относительно неподвижной точки, соответственно; радиус-вектор.

в) - сила Ампера, действующая на элемент проводника c током в магнитном поле ;

г) - сила Лоренца, действующая на движущийся со скоростью заряд Q в магнитном поле .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

7. а). Любой вектор в декартовой системе координат может быть представлен в виде суммы трёх векторов , направленных вдоль осей координат и называемых составляющими вектора по осям координат (их модули называются проекциями вектора ):

; ;

.

б). Векторы (орты) направлены вдоль осей координат, имеют единичную длину и связаны между собой соотношениями (согласно п.п.5,6):

в). Положение точки М относительно системы координат можно задать двумя эквивалентными способами: либо указав значение всех координат x,y,z точки М, т.е. М (x,y,z), либо задав радиус-вектор

, проведённый в точку М от начала координат О (рис.8):

.

г). В декартовой системе координат справедливы следующие соотношения:

- модуль вектора ;

- модуль радиус-вектора ;

;

(согласно п.5).

(согласно п.6 и п.7).

8. Для многих рассматриваемых в механике векторных величин, таких, как радиус-вектор , скорость , ускорение , сила и других, не возникает вопрос о выборе их направления: он вытекает естественным образом из природы самих этих величин. Подобные векторы называются полярными.

Существуют векторные величины, отличные от полярных. Пусть, например, частица, вращающаяся вокруг неподвижной оси ОО', совершила за время dt поворот на бесконечно малый угол d . Этот поворот принято характеризовать вектором d , модуль которого равен углу поворота d , и который направлен вдоль оси ОО ', причём направление вектора d связано с направлением поворота правилом правого винта (рис.9).

Векторы типа d , направление которых совпадает с осью вращения и зависит от направления вращения, называют аксиальными или псевдовекторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения; они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Примеры аксиальных векторов:

	- угловое перемещение;
	- угловая скорость;
	- угловое ускорение;
	- момент импульса;
	- момент внешней силы;
	- индукция магнитного поля.

Приведём формулы, в которых участвуют аксиальные векторы:

; ; ; ; .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какая величина называется скалярной, векторной? Приведите примеры векторных и скалярных величин в физикe.

2. Какой вектор называется единичным или ортом?

3. Сформулируйте условия равенства двух векторов.

4. Сформулируйте правила сложения и вычитания двух векторов.

5.Как определяется скалярное произведение двух векторов? Приведите примеры физических величин, получаемых в результате скалярного произведения.

6. Чему равны скалярные произведения ?

7. Как определяется векторное произведение двух векторов? Как оно записывается в декартовой системе координат?

8. Сформулируйте правило для определения направления вектора , получающегося в результате векторного произведения.

9. Чему равны векторные произведения ? Укажите направления получившихся векторов.

10. Приведите примеры физических величин, получающихся в результате векторного произведения.

11. Какие векторы называются полярными, аксиальными?

12.Укажите направление углового ускорения частицы, вращающейся по часовой стрелке: а) ускоренно; б) замедленно.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Начальное и конечное значения скорости тела равны и , соответственно. Найти приращение скорости модуль приращения скорости приращение модуля скорости .
2. Скорость первого тела , а второго . Чему равен угол α между и ?
3. На тело при его перемещении из т.1(2,3,0) м в т.2(0,0,2) м действует сила Чему равна работа силы при перемещении тела из т.1 в т.2?
4. Сила Н приложена к точке с координатами (4,2,3) м. Чему равны:

а) момент силы относительно начала координат?

б) модуль момента силы?

в) момент силы М_z относительно оси z?

Дата добавления: 2015-07-24