Читайте также: |
|
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
I. Производная характеризует быстроту изменения какой-либо величины y = f(x), зависящей от х, при изменении величины х. За меру этой скорости берется отношение Δ f / Δ х. При стремлении Δ х к нулю величина Δ f тоже стремится к нулю, но отношение Δ f / Δ х стремится к вполне определенному числу. Это число называется производной функции y=f(x) по аргументу х и обозначается как:
.
Дифференциалом dy называется приращение, которое получает функция y=f(x) при переходе от точки с координатой х в точку с
координатой х + dх. По определению это приращение равно:
dy= f(x+dх) - f(x) = f '(x)·dx
и, следовательно, определяется лишь значениями этой функции в начальной и конечной точках и не зависит от пути, по которому происходит переход.
1. Обратить внимание на следующие соотношения:
- средняя скорость; (1)
- (2)
мгновенная скорость, или просто скорость, равна первой производной радиус-вектора по времени t.
- модуль скорости. (3)
2. Приведём примеры, в которых физические величины связаны между собой операцией дифференцирования (вычисление производной называется дифференцированием):
- ускорение равно 1-й производной скорости по времени или 2-й производной радиус-вектора по времени; (произносятся как: дэ вэ по дэ тэ или дэ два эр по дэ тэ дважды).
- сила равна первой производной импульса тела
по времени t;
- х -компонента силы, действующей на тело, равна со знаком минус первой производной потенциальной энергии тела U по координате х.
II. Примеры вычисления производной по формулам (2,3).
1. Радиус-вектор тела зависит от времени согласно закону: . Как зависит от времени скорость тела
?
РЕШЕНИЕ: в момент времени t+Δt имеем . Подставим значения
и
в (2):
Т.о., .
2. Пружинный маятник совершает колебания вдоль оси х по закону х(t)=А·sin(ω·t), где А и ω - постоянные. Чему равна скорость маятника в произвольный момент времени t?
РЕШЕНИЕ: смещение маятника от положения равновесия в момент времени t+Δt равно х(t+Δt)= А·sin(ω· (t+Δt)). Согласно (2-3):
Умножим числитель и знаменатель дроби на ω и получим тогда:
Из теории пределов известно, что
И т.о., получаем
По аналогичной схеме вычисляются производные других функций.
III. В таблице 1 приведены формулы дифференцирования простых функций одной переменной.
Таблица 1.
№ п/п | Функция y=f(x) | Производная ![]() |
1. | xn | nxn-1 |
2. | sinx | cosx |
3. | cosx | -sinx |
4. | ex | ex |
5. | ℓnx | 1/x |
Общие правила дифференцирования функций.
1. Производная постоянной равна нулю: (y=c=const)'=0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
y=c·u(x); y'=[c·u(x)]'=c·u'(x).
3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых
функций равна сумме производных этих функций:
y'=[u(x)+ v(x)+ w(x)]'=u'(x)+v'(x)+ w' (x).
на производную второй функции:
Примечание: правило 4 можно распространить на произвольное
число перемножаемых функций.
числителя и произведением числителя на производную
знаменателя данной дроби, т.е.,
если , то:
.
.
Примечание: правило 6 можно распространить на произвольное
число «вложенных» функций.
7. Если f = f(x,y,z) является функцией нескольких переменных
х,y,z, то производная функции f по одной из переменных
называется частной производной и обозначается как .
При вычислении частной производной, например по х, другие
переменные (y,z) считаются постоянными.
8. Полным дифференциалом функции f = f(x,y,z) называется полное приращение функции при переходе из начальной точки с координатами х,y,z в конечную точку с координатами
х+dx, y+dy, z+dz:
IV. ПРИМЕРЫ:
1. Вычислить модуль скорости тела v, если пройденный путь определяется выражением s=(5·t)6.
Решение: применяем правило 2 и п.1.табл. 1:
.
2. Вычислить ускорение тела а, если путь s=2·ℓnt.
Решение:
При расчёте применяем правило 2 и п.5 табл.1:
3. Вычислить ускорение тела а, если скорость v= ℓn(sint).
Решение: Применяем правило 6. Обозначим u=sint,
тогда v= ℓnu. и
4. Потенциальная энергия частицы задана выражением: Определить компоненты силы, действующей на частицу,:
Решение: применяем правило 7.
5. Потенциальная энергия частицы определяется выражением . Чему равен полный дифференциал потенциальной энергии?
Решение: применим правила 7,8 и п.1 табл.1:
V. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется производной некоторой функции по аргументу, дифференциалом функции?
2. Расскажите схему расчёта производной некоторой функции y=f(x).
3. Запишите выражение для расчёта производной по х следующей функции y=U(x)·V(x)·W(x).
4. Запишите выражение для расчёта производной по х следующей функции у=U{V[W(x)]}.
5. Запишите выражение, связывающее быстроту изменения ускорения и радиус-вектор тела.
6. Запишите условие экстремума функции у=f(x).
VI. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
s = . Показать, что движение замедленное.
где α – постоянная, .
Найти действующую на частицу силу .
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ФИЗИКЕ | | | ИНТЕГРАЛЫ |