Пример 1.

Определим массу цилиндрического стержня длиной ℓ и диаметром основания d, если плотность вещества ρ изменяется от нижнего основания с координатой х₁=0 до верхнего с координатой х₂=ℓ по закону ρ=3·х (рис.12).

Рис. 12

РЕШЕНИЕ. Мы не можем рассчитать массу по известной из школьного курса физики формуле: m=ρ·V (1.1), так как плотность вещества ρ величина переменная. Применим метод ДИ:

Выделим на стержне на произвольном расстоянии х от нижнего основания столь малый участок dх, что в пределах объема dV = заштрихованного цилиндрического слоя плотность вещества ρ(x) изменяется незначительно. Тогда для расчета массы dm этого слоя можно воспользоваться формулой (1.1): dm=ρ(x)·dV=3·х· .

Если разбить весь стержень на такие же цилиндрические слои, то масса всего стержня получится в результате суммирования (интегрирования) всех элементарных масс dm (принцип суперпозиции):

.

Пример 2. Тонкий прямой стержень длиной ℓ равномерно заряжен электрическим зарядом Q. На продолжении оси стержня на расстоянии а от одного из его концов (рис.13) расположен точечный заряд q. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.

РЕШЕНИЕ. В данном случае силу взаимодействия зарядов нельзя определить непосредственно из закона Кулона, справедливого для взаимодействия точечных зарядов. Чтобы его можно было использовать рассмотрим бесконечно малый элемент длины dx, находящийся на расстоянии r от заряда q. Заряд dQ этого элемента можно считать точечным и его легко определить из пропорциональности заряда стержня Q и его длины ℓ:

По закону Кулона на заряд q со стороны заряда dQ будет действовать сила, равная

и направленная так, как показано на рис.12.

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и . Сложив их модули (применив принцип суперпозиции) найдем результирующую силу действия всех заряженных элементов стержня (заряда Q) на заряд q:

Вычислив интеграл окончательно получим:

Пример 3. Найти момент инерции I тонкого однородного кольца радиусом r и массой m относительно оси Ox, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр (т.О).

РЕШЕНИЕ. Мы не можем непосредственно применить формулу для расчета момента инерции точечной массы m: I=m·r².

Разобьем кольцо на бесконечно малые участки массой dm (один

из них приведен на рис.14).

Поскольку кольцо однородно, то массу выделенного участка найдем, поделив полную массу m кольца на угол 2·π и умножив на dφ:

Расстояние этого участка от оси 0x равно y=r·sinφ.

Участок кольца массой dm можно считать материальной

точкой, момент инерции которой относительно оси 0x равен:

Так как момент инерции величина аддитивная, то можно применить принцип суперпозиции для определения момента инерции кольца. Складываем моменты инерции всех участков, т.е., интегрируем полученное выражение в пределах от 0 до 2·π:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Вычислить момент инерции тонкой шайбы массой m, имеющей внутренний радиус R₁ и внешний радиус R₂, относительно оси, проходящей через центр масс шайбы перпендикулярно ее плоскости.
2. Плоский диск радиуса R несет электрический заряд Q, равномерно распределенный по его поверхности. Чему равен потенциал φ электрического поля на оси диска на расстоянии а от его центра?
3. Вычислить электрическое сопротивление проводника в виде шарового слоя с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂, если удельное сопротивление проводника изменяется по закону ρ= 2/r³, где r – расстояние от центра шарового слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс физики, т.I, М.: Наука, 1989,стр. 15,20,22-25.

2. Савельев И.В. Курс общей физики, т.I, М.: Наука, 1987, стр. 20-35,

37-41,45-48.

3. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: ВШ, 1990, стр.8-13.

4. Беликов Б.С., Решение задач по физике. Общие методы.,

М.: ВШ,1986.

5. Чертов А.Г., Воробьев А.А., Задачник по физике,М.: ВШ, 1988.

Дата добавления: 2015-07-24