Метод дифференцирования и интегрирования

В вузе одним из основных методов решения физических задач является метод дифференцирования и интегрирования (ДИ), в основе которого лежат:

1) принцип представления физического закона (формулы) в дифференциальной форме;

2) принцип суперпозиции для аддитивных величин.

Предположим, что физический закон имеет вид: К=L·M (1),

где K,L,M – некоторые физические величины. Причем выражение (1) справедливо только тогда, когда L является величиной постоянной.

Примеры таких выражений: m= ρ·V; ℓ= v ·t; А=F_x ·Δx; A=p·ΔV; U=R·I; Ф=B·S, где ρ - плотность вещества, v - скорость, F_x - сила,

p - давление газа, R - электрическое сопротивление, B - индукция магнитного поля являются постоянными. Список таких выражений можно продолжить.

Но как применять этот закон (1), если L изменяется и является некоторой функцией от M, т.е. L=L(M)?

Выделим столь малый промежуток dM изменения величины M, чтобы на этом промежутке можно было пренебречь изменением величины L (рис.11).

Рис.11

Тогда на участке от M до M+dM можно приближенно считать

L (M) постоянным и, следовательно, условия применимости выражения (1) на участке dM выполняются и можно записать:

dK=L(M)·dM, (2)

где dK равна площади заштрихованной полоски на рис.11.

Значение величины K для интервала изменения величины M от M₁ до M₂ получим просуммировав (проинтегрировав) все величины dK:

. (3)

Метод ДИ является универсальным и необходимым как при изучении теории, так и при решении задач в вузе. В механике с его помощью рассчитывают работу переменной силы, моменты инерции тел, при изучении физических полей определяют силовые характеристики и потенциалы полей, созданных неточечными массами и электрическими зарядами, макротоками и т.д.

Рассмотрим несколько примеров.

Дата добавления: 2015-07-24