Интегралы от функций комплексного переменного.

Рассмотрим непрерывную функцию комплексного переменного

W = f(z) = u(x,y) + i v(x,y).

y Z_k+1 Пусть (l) - кусочно-гладкая линия, на которой указано

начало и конец (т.е. линия ориентирована, эта линия

∆Z_k Z_k может быть и замкнутой). Разобьем кривую

(l) произвольным образом на участки и найдем

x

z_k = x_k + i y_k, ∆z_k = ∆x_k + i ∆y_k .

Этот предел называется контурным интегралом от функции f(z) вдоль линии (l).

Очевидно,

Контурные интегралы обладают всеми свойствами криволинейных интегралов. Отметим два из них.

A

C

B

Вычисление контурных интегралов.

Пусть x = x(t), y = y(t) – параметрические уравнения кривой (L). Или в комплексной форме z = x(t) + i y(t). t = t_A → A, t = t_B → B.

Отсюда

П р и м е р.

y

x = 2t, t₀ = 0, t_A = 1, z = 2t + i t, |z| =

z = 2 + i y = t.

A

O 2 x

Теорема Коши.

Пусть функция f(z) аналитическая в области (D).

Теорема.

Дата добавления: 2015-07-24