Особые точки.

Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.

Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.

Например, f(z) = ¹ _/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.

Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R₂ < |z – a| < R₁, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.

(*)

При этом могут представиться три случая.

1. Разложение (*) не содержит главной части.

Особая точка z = a называется устранимой особой точкой.

П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции

В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.

2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Если то точка z = a называется полюсом m-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.

П р и м е р.

. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.

z = 1 – простой полюс, т.к.

z = i – полюс второго порядка. т.к.

1. Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.

---

Дата добавления: 2015-07-24