Геометрический смысл производной.

Пусть функция f(z) – аналитическая в области (D). Рассмотрим на плоскости (Z) кривую (l) и на ней точку z₀. Она отобразится на плоскости (W) в кривую (L) и точку
W₀ = f(z₀). Пусть f′(z₀) ≠ 0. Пусть далее z = z₀ + ∆z, w = w₀ + ∆w.

Тогда

Следовательно, |f′(z₀)| - коэффициент растяжения в точке z₀ при отображении w = f(z).

В силу аналитичности функции f(z) пределы (1) и (2) не зависят от способа приближения точки z к точке z₀, т.е. от выбора кривой (l). Это означает, что предел (2) один и тот же во всех направлениях выходящих из z₀.

arg f′(z₀) = .

Отсюда, ψ = arg f′(z₀) + φ.

Таким образом, arg f′(z₀) – угол, на который надо повернуть касательную к кривой (l) в точке z₀, чтобы получить направление касательной к кривой (L) в точке w₀. В силу аналитичности функции w = f(z) величина arg f(z₀) одна и та же для всех кривых (l), проходящих через точку z = z₀.

Следовательно, при отображении с помощью аналитической функции углы между кривыми в точке z₀сохраняются.

Отображения, обладающие в данной точке свойством консервативности углов и свойством постоянства растяжения, называются конформными отображениями в этой точке.

Аналитическое отображение является конформным, если f′(z) ≠ 0.

Дата добавления: 2015-07-24