Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Всюду в указанных формулах через обозначается некоторая рациональная функция от переменных и , т.е. , где - многочлены степеней и соответственно от переменных и .

1. Интегралы вида

, . (1)

Положим . Тогда .

В силу формулы замены переменных в неопределённом интеграле

= .

Т.о. вычисление интеграла вида (1) сводится к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

1. Интегралы вида

, . (2)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называется биномиальным дифференциалом.

П.Л. Чебышев доказал, что интегралы этого вида выражаются через элементарные функции лишь в трёх случаях:

1) .

Пусть где .

Положим где - наименьшее общее кратное чисел и . Данная замена переменной сводит вычисление интеграла (2) к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

2) .

Пусть где .

Положим . Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

3) .

Пусть где . Положим . Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

1. Интегралы вида

, . (3)

Для рационализации интегралов этого вида применяются подстановки Эйлера трех типов.

1) Если , то полагаем

или .

2) Если , то полагаем

или .

3) Если квадратный трехчлен имеет различные вещественные корни и , то полагаем

или .

Подстановки Эйлера универсальны (т.е. применимы к любому интегралу указанного вида). Однако во многих случаях они приводят к неоправданно сложным рациональным функциям. Поэтому часто используют другие методы, основанные на элементарных преобразованиях.

Еще одна полезная формула, применимая к интегралам вида

, где полином -й степени, :

.

В этой формуле многочлен - й степени с неизвестными коэффициентами, - неизвестный множитель. Для отыскания этих неизвестных величин указанное равенство дифференцируют, а результат после умножения на и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях дает систему уравнений для отыскания коэффициентов многочлена и множителя .

1. Интегралы вида

(4)

всегда рационализируются универсальной подстановкой

. Тогда , , .

Специальные случаи:

1) Если , то полагаем .

2) Если , то полагаем .

3) Если , то полагаем или .

Иногда удобно преобразовывать подинтегральную функцию, имеющую вид произведения синусов и косинусов (или их степеней), в сумму, пользуясь формулами понижения степени или другими тригонометрическими формулами.

1. Интегралы вида

, (5)

рационализируются при помощи подстановки , где - наименьшее общее кратное знаменателей чисел .

Дата добавления: 2015-07-20