Вычисление объемов.

Понятно, что объем – величина аддитивная. А в качестве характеристики, изменяемой от некоторой координаты, можно взять площадь поперечного сечения при удачном выборе системы координат

см. Рис.7.3.

V

А

S(x_o)

у

О х_o х

Рис 7.3. К вычислению объема тела.

Подведем к телу ось Ох. В произвольной точке x_o проведем поперечное сечение тела. Если нам удается выразить площадь поперечного сечения S как функцию координаты точки сечения S(x_o), то можно продолжить решение задачи. Т.к. Два достаточно близко расположенных сечения приближенно имеют одинаковую площадь, то объем V, заключенный между этими сечениями приближенно равен S(x_o) х. Просуммируем такие объемы и вычислим предел полученной суммы, когда число сечений растет неограниченно, а максимальное х неограниченно уменьшается. Получим формулу для вычисления объема V= S(x)dх, где a и b - крайние точки проекции тела на ось Ох.

Пример 7.8. Вычислить объем цилиндрического отрезка радиуса R и высотой H. Цилиндрический отрезок – это тело, ограниченной прямым круговым цилиндром, поперечным сечением и сечением, проходящим через диаметр поперечного сечения по некоторым углом к поперечному сечению.

Решение. Направим ось Ох вдоль диаметра поперечного сечения, Оу – через центр поперечного сечения перпендикулярно его диаметру, а Оz - через центр поперечного сечения перпендикулярно сечению Рис 7.4. если провести

в точках х и О два параллельных сечения, то из подобия треугольников полу-

чим

z H

-R y

х R

О

R

Х

= откуда z= , но у= , поэтому z= . А это означает, что площадь поперечного сечения цилиндрического отрезка при выбранной системе координат выражается формулой S(x) =yz= , т.е. является функцией координаты х. А потому объем цилиндрического отрезка равен

V= dx = = .

Дата добавления: 2015-07-26