Площадь поверхности вращения.

Опр. Договоримся называть площадью поверхности вращения предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной, вписанной в кривую, вращение которой дает поверхность вращения при условии, что число звеньев ломаной растет неограниченно, а размер звена стремится к нулю.

В такой постановке площадь поверхности обладает свойством аддитивности и можно продолжать рассуждения. Пусть вращается линия y=f(x), непрерывная на [a;b] и осью вращения будет ось Ох.

Разобьем дугу кривой точками на n частей и впишем ломаную. Пусть x_i - абсциссы вершин ломаной. Каждое звено ломаной опишет боковую поверхность усеченного конуса, которая равна

S_i=2 .

Можно приближенно считать, что =f(c_i), где c_i - где-то между точками x_i-1 и x_i. Ранее было получено = dx. После чего получаем приближенное значение площади части поверхности вращения, образованной вращением звена ломаной S_i=2 f(c_i) dx. После суммирования и перехода к пределу при известных ранее условиях получаем формулу для вычисления площади поверхности вращения линии y=f(x), заданной на [a;b] около оси Ох S=2 f(x) dx.

Для других способов задания линии, вращений которой образует поверхность, формулу можно получить аналогично.

Дата добавления: 2015-07-26