Независимость КРИ-2 от пути интегрирования

Не следует воспринимать заголовок как гарантию абсолютной независимости КРИ-2 от пути интегрирования. Дело обстоит несколько иначе.

Пусть некоторый КРИ-2 вида P(x,y)dx+ Q(x,y)dy мы вычислили по дуге кривой АКВ. Затем подсчитали этот же интеграл, но уже по пути ANB. Если при этом результаты окажутся одинаковыми, то говорят, что данный P(x,y)dx+ Q(x,y)dy не зависит от пути интегрирования(см.Рис 12.1).

Однако мы продолжим рассуждать далее и обнаружим, что в этом случае

P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0! И это вполне естественно. Таким образом, независимость КРИ-2 от пути интегрирования эквивалентно понятию равенства нулю того же КРИ-2, но! уже по замкнутому контуру, проходящему через те же две указанные в самом начале точки.

Теорема(о независимости КРИ-2 от пути интегрирования). Пусть в D, содержащей гладкую кривую АВ,не имеющей точек самопересечения, заданы непрерывные и имеющие непрерывные частные производные функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда для независимости P(x,y)dx+Q(x,y)dy необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось условие = .

Доказательство можно найти в разделе “Теория поля - Формула Грина”.

Дата добавления: 2015-07-26