Задачи, приводящие к кратным интегралам.

Задача 1. Вычислите объем цилиндроида. Цилиндроидом называют пространственное тело, ограниченное снизу областью D с границей Г, сбоку цилиндрической поверхностью с образующей, перпендикулярной плоскости области D, и направляющей в виде границы Г и сверху поверхностью z=f(М)>0, где z=f(М) –определена в каждой точке D.

Задача 2. Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностью S, плотность распределения массы задана величиной .

Решение этих задач выполним по одному алгоритму. Начнем с задачи 1. Т.к. нет рабочей формулы для вычисления объема цилиндроида, то разобьем D на достаточно малые участки площадью . Тогда над каждым таким участком расположится некоторый объем, который можно считать приближенно имеющим постоянную высоту f(M_k). И величину этого объема можно подсчитать f(M_k) . Если теперь просуммировать все частичные объемы и вычислить предел полученной суммы, когда размеры частей уменьшаются, а число их растет неограниченно, то мы вычислим объем цилиндроида V= .

Аналогичные рассуждения приведут нас к ответу во второй задаче m= , где разбиении произведено на части , т.к. тело неоднородно и с таким расчетом, чтобы при достаточно малых частях разбиения плотность материала можно было считать приближенно постоянной.

Обобщая решения этих задач дадим определения для кратных интегралов.

Пусть в некоторой области D c границей Г задана непрерывная f(M). Разобьем D на части достаточно малого размера (диаметра). Но каждом участке разбиения выберем точку M_k, вычислим и составим сумму -для плоской области D и - для пространственной D. Вычислим пределы и . Если указанные пределы существуют независимо от способа разбиения области D на части и выбора точки M_k на каждой части разбиения, то назовем эти пределы соответственно двойным и тройным интегралом и обозначим и .

Для большего отличия в записи двойного и тройного интегралов последний часто обозначают и тогда сразу видно, что интегрирование ведется по пространственной мере, в то время как в двойном – по плоской. Оба интеграла называют общим термином – кратный интеграл, если нет крайней необходимости выделить что-то особенное. Из получения интегралов следует, что теорема существования и основные свойства их повторяют свойства определенного. Выделим особо некоторые из этих свойств, т.к. они отличаются написанием. Так, теорема об оценке интеграла принимает вид < и точно так же для тройного. Теорема о среднем принимает вид =f(C)S_D, где С – точка внутри D, а S_D – площадь D. Соответственно изменятся термины для тройного интеграла. Поэтому в дальнейшем все выкладки будем делать, опираясь на двойной интеграл (ДИ), а результаты переносить на интеграл любой кратности, если нет существенных отличий.

Дата добавления: 2015-07-26