III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков

Определение 1. Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

, где при . Выражение есть главная часть полного приращения ; она называется полным дифференциалом функции в точке и обозначается или :

.

Под дифференциалами независимых переменных условимся понимать произвольные приращения этих переменных: . Таким образом, в каждой точке , где функция дифференцируема, дифференциал можно записать по формуле:

.

Аналогично, для функции трех переменных

.

Отметим, что полный дифференциал функции обладает инвариантной формой так же, как и дифференциал функции одной переменной. При малых приращениях независимых переменных можно приближенно полагать полное приращение функции равным полному дифференциалу функции.

Найти полные дифференциалы функций.

Дата добавления: 2015-07-24