Определение функции двух переменных.

Если каждой точке множества по некоторому правилу ставится в соответствие одно вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция двух переменных и пишут или . Множество называют областью определения функции .

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы будем использовать аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Рассмотрим примеры функций двух переменных.

1. . Область определения этой функции – множество , то есть вся плоскость XOY.

2. . Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, то есть множество точек, для которых , или . Множество всех таких точек образует

круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

3. . Область определения этой функции – множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть множество точек, лежащих вне круга радиуса 1 и с центром в начале координат.

Если вместо множества точек плоскости взять множество точек пространства, в котором каждая точка имеет три координаты , то аналогично можно дать определение функции трех переменных или . Областью определения функции трех переменных является все трех мерное пространство или его часть. Аналогично можно ввести понятие функций четырех и вообще n переменных . Однако области определения таких функций уже не имеют наглядного геометрического истолкования.

Заметим, что между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. В то же время, переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений. Поэтому обычно мы будем подробно рассматривать только случай функций двух переменных.

Дата добавления: 2015-07-24