IV Производная по направлению и градиент

Рассмотрим на плоскости точку и исходящий из нее луч .

Определение 1. Под производной функции по направлению в точке М понимается конечный предел отношения приращения функции в это направлении к величине перемещения точки по лучу, при условии, что последняя стремится к нулю, то есть

.

Из этого определения следует, что частные производные и можно рассматривать как производные функции по положительному направлению осей координат ОХ и OY. Производная определяет скорость изменения функции в направлении , ее величина определяется по формуле:

, где - единичный вектор на направлении (здесь ); - угол, составляемый вектором с положительным направлением оси ОХ, - угол, составляемый вектором с положительным направлением оси ОY. и называются направляющими косинусами данного направления.

Аналогично, для функции трех переменных ее производная в направлении равна

, где - углы между направлением и положительными направлениями трех координатных осей; .

Замечание. Если вектор имеет координаты , то есть , то направляющие косинусы вычисляются по формулам: .

Определение 2. Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , в точке и обозначается .

Используя понятие градиента, и учитывая, что вектор имеет координаты и , можно представить производную по направлению в виде скалярного произведения векторов и : , где - длина вектора , вычисляемая по правилу: . Здесь угол - угол между векторами и . Очевидно, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при (), то есть когда направление вектора совпадает с направлением . Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

На практике, в частности, в теории оптимального управления широко используется понятие градиента скалярной функции.

Аналогично, для функции трех переменных вводится понятие градиента .

Пример 1. Найти производную функции по направлению вектора в точке М, если .

Найдем частные производные: .

Вычислим их в заданной точке: .

Определим длину вектора , то есть вектор - единичный, а поэтому .

Используя формулу для нахождения производной по направлению, получим:

.

Пример 2. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если .

Найдем частные производные: .

Вычислим их в точке : .

Определим координаты вектора : .

Длина вектора: . Определим направляющие косинусы этого вектора: .

Тогда .

Пример 3. Найти производную функции в точке М по данному направлению, если: , по направлению луча, образующего с осью ОХ угол 135⁰.

;.

Так как , то ; .

Тогда .

Пример 4. Найти градиент функции в точке М, если .

Найдем частные производные: ;

.

Тогда .

Пример 5. Найти наибольшее значение в точке М, если .

Как уже отмечалось, наибольшее значение в точке М равно модулю градиента в этой точке, то есть . Поэтому, сначала определим , а затем найдем его модуль.

;

. ,

. Следовательно, .

Примеры для самостоятельного решения

I. Найти производную функции по направлению вектора в точке М, если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

II. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

III. Найти производную функции в точке М по данному направлению, если:

1. , по направлению вектора, образующего с осью ОХ угол .

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

IV. Найти градиент функции в точке М, если:

1. ; 3. ;

2. ; 4. ;

5. .

V. Найти наибольшее значение в точке М, если:

1. ; 3. ;

2. ; 4. .

VI. Найти вектор , по направлению которого в точке М достигает наибольшего значения, если:

1. ; 3. ;

2. ; 4. .

V Экстремум функций нескольких переменных

Пусть функция определена в окрестности точки .

Определение 1. Если существует окрестность , в которой , то точка М₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции .

Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума.

Теорема 1. (Необходимые условия локального экстремума).

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке М₀, то частные производные первого порядка по всем переменным от равны нулю, то есть .

Назовем точки, в которых все частные производные функции равны нулю, стационарными.

Итак, если М₀ – точка локального экстремума дифференцируемой функции, то она обязательно стационарная. Обратное утверждение в общем случае неверно. Это подтверждает следующий пример.

Пример 1. Пусть дана дифференцируемая функция .

Найдем ее стационарные точки: при .

Значение функции в стационарной точке (0;0) равно нулю, но, очевидно, в сколь угодно малой окрестности этой точки, функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. (Поясните!). Следовательно, в стационарной точке (0;0) наша функция экстремума не имеет.

Если не ограничиваться рассмотрением только дифференцируемых функций, то необходимое условие локального экстремума нужно дополнить. Если функция имеет экстремум в точке М₀, то а) или все частные производные первого порядка равны нулю в точке М₀; б) или хотя бы одна из частных производных первого порядка не существует в точке М₀.

Такие точки М₀ называются критическими точками.

Теорема 2. (Достаточные условия локального экстремума функций нескольких переменных)

Пусть -- функция нескольких переменных, имеющая в некоторой окрестности своей стационарной точки М₀ непрерывные частные производные второго порядка. Тогда

1) если при всех одновременно не равных нулю, то М₀ – точка локального минимума ;

2) если при всех одновременно не равных нулю, то М₀ – точка локального максимума ;

3) если меняет знак, то есть при одном наборе положителен, а при другом наборе отрицателен, то в точке М₀ экстремума нет;

4) если , то есть , то ничего определенного сказать нельзя, то есть экстремум в точке М₀ может быть, а может и не быть.

Дифференциал второго порядка любой функции – квадратичная форма: , где -- действительные числа. В развернутом виде квадратичная форма записывается следующим образом:

.

Определение 2. Матрицу называют матрицей квадратичной формы.

Определение 3. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при всех одновременно не равных нулю; отрицательно определенной, если при всех одновременно не равных нулю; знакопеременной, если найдутся два набора такие, что при одном из них , а при другом ; неопределенной, если хотя бы для одного нетривиального набора .

Теорема 3. (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была 1) положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны, то есть

;

2) отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .

3) Если среди главных миноров нет ни одного нуля, но не выполняются ни условие 1), ни 2), то квадратичная форма знакопеременная;

4)если среди главных миноров хотя бы один нуль, то она неопределенная.

Для функций двух переменных

.

Обозначим через .

Используя определение определенности квадратичной формы и теорему 3, из теоремы 2 следует результат:

Теорема 4. (Достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных).

Пусть функция имеет в некоторой окрестности своей стационарной точки непрерывные частные производные второго порядка. Тогда

1) если , то при М₀ – точка локального максимума, а

при М₀ – точка локального минимума;

2) если , то в точке М₀ экстремума нет;

3) если , то ничего сказать нельзя.

Заметим, что из условия вытекает, что .

Схема нахождения локального экстремума функций нескольких переменных.

1) Найти все стационарные точки функции ;

2) Определить точки, где не существуют частные производные;

3) Вычислить в каждой стационарной точке и выяснить знак ;

4) Сделать вывод об экстремуме, если сразу ясен знак ;

5) Если знак сразу не ясен, то необходимо выписать матрицу квадратичной формы, вычислить главные миноры и сделать вывод об определенности квадратичной формы и об экстремуме. (В случае функции двух переменных воспользоваться результатом теоремы 4);

6) В точках, где не существуют частные производные функции , нужно записать полное приращение функции, определить его знак в окрестностях этих точек и сделать вывод об экстремуме (если полное приращение положительно в окрестности точки М₀, то М₀ – точка локального минимума, если – отрицательно, то М₀ – точка локального максимума).

Замечание. При выяснении знака можно переменные менять местами, если среди главных миноров есть нулевые, эта операция не приводит к результату, если определитель всей матрицы равен нулю.

Пример 2. Исследовать на локальный экстремум функцию:

.

Функция определена при всех и . Найдем частные производные первого порядка: ; .

Эти производные существуют для всех и . Для нахождения стационарных точек имеем: или .

Так как не является решением системы, то .

Умножим обе части уравнения на , получим .

Далее, ; или .

То есть -- стационарные точки.

Вычислим частные производные второго порядка:

.

Тогда в точке (2;3) имеем:

.

Значит согласно достаточному условию теоремы 4, в этой точке нет экстремума.

В точке (-2;-3):

-- также нет экстремума.

В точке (3;2):

-- экстремум есть, и так как , то это точка локального минимума. .

В точке (-3;-2):

-- экстремум есть, и так как , то это точка локального максимума. .

Пример 3. Исследовать на локальный экстремум функцию:

.

Найдем частные производные и составим систему уравнений.

или

Решая систему, получим четыре стационарные точки

. Найдем частные производные второго порядка .

Запишем дифференциал второго порядка функции:

.

1) Вычислим в точке : .

Матрица данной квадратичной формы имеет вид: .

Найдем главные миноры матрицы .

Следовательно, квадратичная форма – знакопеременная М₁ не является точкой локального экстремума.

2) . Матрица квадратичной формы: . Главные миноры: .

Квадратичная форма – положительно определенная, то есть и -- точка локального минимума. .

3) .

Матрица квадратичной формы: .

Главные миноры матрицы: .

Следовательно, М₃ не является точкой локального экстремума.

4) Аналогично, проверьте самостоятельно, что точка М₄ не является точкой локального экстремума.

Примеры для самостоятельного решения

1. ; 17. ;

2. ; 18. ;

3. ; 19. ;

4. ; 20. ;

5. ; 21. ;

6. ; 22. ;

7. ; 23. ;

8. ; 24. ;

9. ; 25. ;

10. ; 26. ;

11. ; 27. ;

12. ; 28. ;

13. ; 29.

(функция задана неявно);

14. ;

15. ;

16. ;

30. ;

31. .

VI Условный экстремум

Если точки экстремума функции ищутся только среди точек таких, что для них выполнены условия , то говорят, что решается задача на условный экстремум, при этом равенства и называют уравнениями связи. Заметим, что уравнений связи может быть одно или два, но не больше числа независимых переменных.

В зависимости от того, каковы уравнения связи, используются следующие способы решения задачи условного экстремума:

а) Прямой метод нахождения точек условного экстремума:

если дано одно уравнение связи , и его можно разрешить относительно одной из переменных, например , то задача условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции .

Пример 4. Найти условные экстремумы функции , если .

Разрешим условие связи относительно переменной : .

Подставив полученное значение в выражение для , сведем задачу к нахождению

обычного локального экстремума функции двух переменных

.

Решим ее: .

Для нахождения стационарных точек получим систему:

.

Последняя система распадается на следующие системы:

1) 2) 3) 4) .

Найдем производные второго порядка:

.

В точке имеем: .

и, следовательно, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.

В точке (3;0): -- нет экстремума.

В точке (0;2):

-- нет экстремума.

В точке : . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум. Тогда функция имеет в точке условный максимум и .

Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что переменные связаны уравнениями связи . Предполагается, что функции дважды непрерывно дифференцируемы.

Задача определения условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции Лагранжа:

,

где -- постоянные множители.

Приведем схему исследования функций на условный по методу, предложенному Лагранжем.

а) Находим критические (подозрительные) точки на экстремум функции из системы уравнений: .

б) Вопрос о существовании и характере условного экстремума, как и в случае локального экстремума, решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа в критических точках, при условии, что связаны соотношениями, которые получаются при дифференцировании уравнений связи:

Пример 5. Исследовать на условный экстремум функцию

, если .

Составим функцию Лагранжа:

и записанную выше систему уравнений:

Из системы следует, что точки (5;-4) и (-5;4) – условно-стационарные точки. Проверим, будут ли они точками условного экстремума данной функции. Для этого вычислим второй дифференциал функции Лагранжа:

.

Дифференцируя уравнение связи, получим:

.

Тогда в точке (5;-4) имеем: . И, учитывая, что для этой точки , получим . Следовательно, в точке (5;-4) функция имеет условный максимум, .

Аналогично, в точке (-5;4) имеем: и при этом

. Поэтому в точке (-5;4) функция имеет

условный минимум, .

Задачи для самостоятельного решения

Найти условные экстремумы функции относительно заданного уравнения связи:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

VII Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве Е, существуют на этом множестве точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).

Если эти точки лежат внутри множества, то они являются точками экстремума функции и их следует искать среди стационарных точек или точек, где не существуют частные производные. Однако, своего наибольшего (наименьшего) значения функция может достигать и на границе множества.

Таким образом, для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на множестве Е необходимо:

а) найти все стационарные точки функции , лежащие внутри Е;

б) найти все точки внутри множества Е, где не существуют частные производные;

в) во всех найденных точках вычислить значения функции и сравнить их со значениями функции на границе.

Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве Е.

Пример 1. Найти набольшее и наименьшее значения функции

внутри круга .

Для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений (заметим, что во всех точках внутри круга данная функция имеет частные производные):

Из этой системы уравнений найдем следующие стационарные точки, лежащие внутри круга: .

Далее, .

Выясним, какие значения принимает функция в точках окружности . На окружности . Исследуя на и функцию одной переменной, получим, что наименьшее значение на окружности равно -6 и достигается в точках , а наибольшее значение равно 15 и достигается в точках . Искомые наибольшее и наименьшее значения равны 15 и -6 и достигаются на границе области.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

внутри круга .

Найдем внутренние стационарные точки: .

Имеем: -- точка, являющаяся внутренней точкой заданного множества, .

Будем искать стационарные точки на границе, то есть, исследуем функцию при условии связи . Для нахождения точек, в которых возможно достигается наибольшее и наименьшее значения, составим функцию Лагранжа:

.

Найдем ее стационарные точки, удовлетворяющие условию связи, то есть решим систему:

а) б)

Отсюда

Вычислим во всех найденных точках значения функции:

.

Итак, ;

.

Примеры для самостоятельного решения

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Литература

1. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики.— М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1986 г.

2. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехлов, М.И.Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. 1994 г.

3. В.С.Шипачев. Задачник по высшей математике. – Москва. «Высшая школа».

2003 г.

4. В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. – Москва. «Наука». 1971 г.

Дата добавления: 2015-07-24