Градиент векторного поля.

Пусть в декартовой системе координат с базисом задано векторное поле . При переходе к базису производные преобразуются по тензорному закону. Действительно, . Рассмотрим векторы и . Производные являются элементами матрицы линейного оператора, преобразующего вектор в . Следовательно, матрица есть матрица из элементов тензора ранга 2. Если векторы базиса , как в данном случае, не зависят от , то можно использовать обозначение .

Если система координат криволинейная, то векторы локального базиса зависят от точки. В общем случае обозначают координаты тензора, который называется ковариантной производной векторного поля . В случае, когда система координат криволинейная, координаты этого тензора не совпадают с производными от координат вектора по координатам точки.

Градиентом векторного поля называется тензор с матрицей,
транспонированной к матрице :

.

Градиент векторного поля обозначается . Используя вектор , его можно записать в виде , а вектор в виде , где в правой части стоит произведение матрицы тензора и вектора-столбца .

С помощью тензора можно записать дифференциальные операции векторного поля и :

– аксиальный вектор, так как равен векторному произведению. Например, в гидродинамической аналогии векторного поля угловая скорость вращения бесконечно-малого объёма жидкости выражается формулой ; вектор – аксиальный.

Дата добавления: 2015-07-20