Пример 2. . Функция определена при условии

Функция определена при условии . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :

.

Пример 3. . Доказать, что .

Функция определена при . Найдем частные производные:

.

.

Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда найденные частные производные:

,

то есть действительно равенство верно.

Пример 4. . Доказать, что .

Функция определена при .

. Вычислим:

.

Следовательно, равенство верно.

Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как частные производные и какой-либо функции двух переменных сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них опять можно брать частные производные по и . Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка (или просто второй частной производной). Если от взять частную производную по , то есть вычислить , то результат обозначается или . От частной производной можно взять частную производную по : . Результат дифференцирования называется смешанной частной производной второго порядка и обозначается: или .

Таким же образом можно вычислить частные производные второго порядка и , полученные от дифференцирования частной производной по и по соответственно.

Справедливо утверждение: если смешанные частные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Найдем частные производные первого порядка:

;

.

Находим частные производные от этих:

;

;

.

Так как смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не зависит от порядка дифференцирования, то есть .

Можно определить и производные более высоких порядков. Так для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка:

(или ), , шестнадцать частных производных четвертого порядка и так далее.

Если рассматривать функцию трех переменных , то для нее имеем три частные производные первого порядка , девять частных производных второго порядка и так далее.

Заметим, что смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например .

Дата добавления: 2015-07-24