II Частные производные функции нескольких переменных

Перенесем на функции нескольких переменных основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, именно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, точнее, столько производных, сколько независимых переменных у данной функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной приращение , а значение переменной менять не будем, то есть перейдем на плоскости от точки к точке ( таково, что точка принадлежит окрестности точки М). При этом значение функции также изменится. Назовем это изменение частным приращением функции по переменной : .

Аналогично можно составить частное приращение по переменной :

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной по переменной (по переменной ) от функции в точке .

Частные производные обозначаются одним из следующих символов: , или , или , или . Если нужно явно указать, в какой точке вычислена частная производная, то пишут, например, так: , или .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Следовательно, правила и формулы отыскания частных производных те же, что и правила и формулы обычных производных функций одной переменной.

Найти частные производные следующих функций:

Дата добавления: 2015-07-24