Приближенное вычисление кратных интегралов.

Ограничимся случаем ДИ. Если вычислить ДИ в квадратурах затруднительно, используют приближенные методы. Чаще всего для оценки используют метод Монте-Карло. Он основан на простом принципе. Пусть имеется квадрат со стороной 1 и в нем расположена некоторая область D. Предположим, мы бросили в квадрат N случайных равномерно распределенных точек. Естественно, часть из них попадет в D. Тогда площадь области можно приближенно подсчитать в виде отношения n/N, где n –число точек, оказавшихся внутри D.

Реализуется метод в такой последовательности.

Сначала нормализуют область интегрирования D(располагают ее в единичном квадрате, с левой нижней вершиной в начале координат и сторонами, расположенными вдоль осей х и у). Если область не нормализована (не располагается где требуется), то это всегда можно сделать заменой переменных x=a+u(b-a), y=c+v(d-c), где u,v– новые переменные, [a;b] - проекция D на Ох, [c;d] - проекция D на Оy. Якобиан такого перехода (замены) равен (b-a)(d-c) гарантировано не равен нулю. Сделав такую замену, генерируют N случайных точек, равномерно распределенных в единичном квадрате и подсчитывают число n точек, оказавшихся в области D. Затем записывают теорему о среднем для ДИ =f(C)S_D. С – точка в области D, S_D - площадь области D. Т.к. f(C)= , а S_D=n/N, то получаем приближенное значение интеграла = . Естественно, что всю вычислительную работу следует поручить ЭВМ. Но вся интеллектуальная подготовка остается за исполнителем.

Дата добавления: 2015-07-26