Приложения кратных интегралов.

Исходя из задач, приводящих к понятию кратных интегралов, получаем схему их применения при решении прикладных задач.

Сначала устанавливают физическую или математическую формулу для работы и анализируют возможность ее применения. Находят характеристику, изменение которой влияет на изменение искомой величины. Область задания разбивают на частицы достаточно малого размера с таким расчетом, чтобы на каждой части выбранная характеристика практически не менялась. Вычисляют интересующую величину на выбранной части разбиения. После суммирования получают кратный интеграл.

По такой схеме можно вычислять объем пространственного тела как разность объемов двух цилиндроидов, представленных двойными интегралами.

Этот же объем можно вычислить тройным интегралом, если положить подынтегральную функцию равной 1. В этом случае масса тела, представленная тройным интегралом, численно равна объему этого тела.

Несколько сложнее вычислять площадь поверхности, заданной функцией 2-х переменных z=f(x;y). Руководствуемся Рис 13.3 и рассуждаем так. Известно, что площадь проекции некоторой плоской фигуры равна площади самой фигуры на косинус угла между плоскостями S_{проекции}=S_фигуры Cosф.

dT ds

z=f(x;y)

у

Х d

Рис 13.3. К вычислению площади поверхности

Выделим на поверхности небольшую часть. Пусть ее площадь равна ds нам неизвестна. Возьмем точку на этой площадке и проведем касательную плоскость Т к поверхности в этой точке. При малых ds можно считать приближенно равными ds и расположенную над ней dT. В свою очередь между dT и d как проекцией dT на плоскость хОу имеем соотношение d =dTCosф. Отсюда получаем ds= . Но ф – это угол между нормалями к касательной плоскости Т и плоскости хОу. Нормалью к хОу служит вектор , а нормалью к поверхности z=f(x;y) служит, как известно, вектор градиента, который в нашем случае равен (). Поэтому Cosф= . Подставим полученное значение в формулу для вычисления ds. Затем проведем интегрирование и получим S= - формула для вычисления площади поверхности двойным интегралом.

При решении физических задач используем известные определения: масса однородного объекта с плотностью вычисляется по формуле m= V; статический момент относительно оси (точки) вычисляется по формуле М=mr (где m – масса, сосредоточенная в точке, r -расстояние от этой массы до точки или оси); кинетический момент (момент инерции) J=mr² (m,r смотри выше) и т.д.

Если же тело или масса неоднородны(или размеры массы соизмеримы с расстоянием r), то следует объект разбить на части достаточно малого размера и вычислять dm, dM или dJ, а затем переходить к соответствующему интегралу.

Дата добавления: 2015-07-26