Расчет ошибок в нелинейных САУ

Задача 15. Система, структурная схема которой приведена на рисунке 3.8,

Описывается уравнением (9)

,

где передаточная функция линейной части системы

,

а нелинейный элемент описывается выражением

Входной сигнал сигнал х в виде белого шума с интенсивностью

Определить дисперсию выходного сигнала .

Решение. Заменим нелинейную функцию линейным приближением

,

где

Тогда для сигнала можно записать

,

где

.

Найдем по формуле

.

С помощью таблицы интегралов получим

.

Для данного случая можно выразить дисперсию через параметры системы и характеристики сигнала, подставляя значение , т.е.

.

Задача 16. Блок-схема нелинейной системы представлена на рис.3.10. Передаточная функция линейной части

,

где

сек .

Нелинейный элемент имеет релейную, без зоны нечувствительности,

Статическую характеристику

;

где в

Задающее воздействие -центрированная случайная функция (),

причем

,

где

; .

Необходимо определить коэффициенты статистической линеаризации и дисперсию ошибки управления в установившемся режиме.

Решение. Учитывая характер воздействия, получим, что математическое ожидание ошибки управления и . В этом случае в блок схеме рис 3.10 нелинейный элемент заменяется усилительным звеном

Статистический коэффициент усиления находят по формуле (3.11):

Для определения дисперсии ошибки управления найдем передаточную функцию ошибки

.

Так как

,

то

.

Из последнего выражения находим:

,

или

в

Дисперсия ошибки увеличивается с увеличением интенсивности входного воздействия и уменьшается с увеличением коэффициента преобразования линейной части системы и размаха реле В.

Задача 17. Следящая система автоматического сопровождения цели (16), представленная блок схемой рис. 4.2, а, характеризуется следующими данными:

a)

б)

Рис 4.2 Блок-схемы системы к задаче 17

передаточная функция линейной части системы

,

где град сек в ; сек;

сек; сек; нелинейная характеристика дискриминатора

,

где

в; град ;

регулярная составляющая задающего воздействия

,

где град/сек;
-сигнал помехи типа белого шума, приведенный к выходу дискриминатора со спектральной плотностью .

Требуется определить среднее значение и дисперсию ошибки слежения .

Решение. Приведем рассматриваемую схему к обобщенной блок схеме

рис. 4.2, б путем пересчета сигнала помехи ко входу системы

т.е.

,

Где -оператор дифференцирования, в результате чего следящая система сопровождения будет описываться уравнениями:

; .

В соответствии с методом статистической линеаризации уравнения для математических ожиданий и для центрированных случайных составляющих

равны:

; (4.1)

. (4.2)

Для определения связи и в установившемся режиме преобразуем по Лапласу уравнение (4.1) и получим

,

где , , -преобразования Лапласа от функций ,

, , соответственно.

В установившемся режиме, т.е. при ,

.

Для стационарного режима системы, при котором

, , ,

Получаем

. (4.4)

Математическое ожидание задающего воздействия в рассматриваемом случае

.

Учитывая значение , находим

в. (4.5)

В соответствии с уравнением (3.25) имеем

. (4.6)

В результате вычислений получим

. (4.7)

Решение уравнений (4.5) и (4.7) может производиться графически. С этой целью строится семейство кривых для фиксированных значений

(рис.4.3,а). Для синусоидальной характеристики величина

Рис 4.3 Семейства зависимостей

и

( определено в примере 3.3) На графике (рис.4.3,а) отмечается значение

строится зависимость (рис. 4.3, б). Эта зави-симость связывает между собой значения и , при которых удовле-творяется условие

.

Для совместного решения уравнений (4.5) и (4.7) задаемся на кривой 1 (рис. 4.3,б) некоторой точкой, например при град, град.

Для этих значений и вычисляем статистический коэффициент усиле-

ния . Подставляя в формулу (4.7) с учетом заданных величин , найдем, что град.

Величина отличается от принятого первоначального значения град, для которых удовлетворяется уравнение (4.5), не обеспечивает выполнение условия (4.7).

Точка пересечения с координатами град и град наносится на рисунке 4.3, б (точка а). Повторяя предыдущую операцию, выберем на кривой 1 другую пару значений ; например град, град.

Определенную пару значений град, град

Рис 4.4 Схема к задаче 18

отмечаем на рис. 4.3,б (точка б). В результате аналогичных расчетов полу-чаем кривую 2. В точке пересечения кривых 1 и 2 исходное и найденное значения совпадают; получаем математическое ожидание и среднее значение ошибки слежения: град; град. При большой интенсив-

ности помехи совместное решение уравнений (4.5) и (4.7) может быть невозможно, что физически означает срыв режима сопровождения.

Задача 18. Определить математическое ожидание и дисперсию ошибки системы управления полетом (рис.4.4) при учете ограничения скорости и ве-

личины отклонения руля, в установившемся режиме(31).

Решение. Учитывая зону нечувствительности и ограничения скорости отклонения руля, будем иметь систему уравнений:

( 4.8 )

где -полиномы относительно оператора дифференцирования с постоянными коэффициентами;

-нелинейные характеристики безынерционных элементов;

-входной сигнал состоящий из неслучайного полезного сигнала и стационарной случайной помехи .

Осуществляя статистическую линеаризацию нелинейных элементов и , получим систему уравнений для определения математических ожиданий:

(4.9)

и случайных центрированных составляющих

(4.10)

где

-коэффициенты усиления НЭ по математическим ожиданиям и случайным

составляющим.

Для установившегося режима, для которого коэффициенты

постоянны, на основании (4.9) получим:

(4.11)

(4.12)

(4.13)

где

-передаточные функции системы (4.9) от входа к выходам соответс-твенно; индекс у этих функций означает производную по параметру , а сами производные вычисляются при -производная порядка

Функции по переменной .

Выражения (4.11)-(4.13) однотипны, поэтому рассмотрим, как получено соотношение (4.13).

Математическое ожидание выходного сигнала в соответствии с (1.64)

. (4.14)

Задающий сигнал ,как правило, является медленно меняющейся функцией времени, и его можно представить рядом Тэйлора в окрестности

Точки (2.66):

(4.15)

где -производные функции .

Подставляя в (4.14) значение (4.15), получим

, (4.16)

где определяются (2.69).

Моменты импульсной переходной функции могут быть выражены через значения передаточной функции системы и ее производных в начале координат. Так как

, (4.17)

то, пологая здесь , находим момент нулевого порядка:

Дифференцируя (4.17) раз по , получим

.

Полагая в последнем выражении ,находим момент -го порядка импульсной переходной функции:

(при (4.18)

Учитывая (4.18), выражение для математического ожидания выходного сигнала системы при воздействии на ее входе неслучайного задающего сигнала и стационарной случайной помехи, будет иметь вид

На основании уравнений (4.10) находим формулы для определения дисперсии:

(4.19)

(4.20)

(4.21)

где

-передаточные функции системы (4.10) от входа к выходам соотве-тственно.

Пользуясь методом последовательных приближений при котором задаются значениями по формулам (4.11), (4.12), (4.19), (4.20) вычисляют величины , вновь определяют и, продолжая вычисления, находят окончательно и коэффициенты . Величины определяются по формулам (4.13) и (4.21).

Математическое ожидание и дисперсию ошибки системы находят по формулам:

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

ТАБУЛИРОВАННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

,

;

;

где

,

;

; ;

Дата добавления: 2015-07-15