Статистические коэффициенты усиления

Метод статистической линеаризации был разработан и опубликован в 1954 г. одновременно II. Е. Казаковым в СССР и Бутоном в США.

Статистическая линеаризация Казакова точнее учитывает основные законы совместного прохождения полезного сигнала помехи через НЭ.

Суть метода состоит в приближенной замене характеристик эквивалентными в статистическом смысле линейными зависимостями: Возможны различные критерии эквивалентности нелинейной и заменяющей ее линейной зависимости. Рассмотрим два таких критерия.

Один из критериев эквивалентности удовлетворяется, если среднеквадратическое значение разности процессов нелинейной или линеаризованной системы минимально.

Другой критерий выполняется, если нелинейная зависимость заменяется линейной, эквивалентной ей по математическому ожиданию и дисперсии.

Нелинейная зависимость, естественно, имеет различный вид для разных существенно нелинейных элементов а также зависит от статистических характеристик случайного процесса на входе нелинейного элемента.

Пусть нелинейная зависимость выхода и входа безынерционного нелинейного элемента имеет вид

(3.2)

Преобразуемая случайная величина может быть представлена в виде (3.1), а выходная величина — соответственно выражением

(3.3)

где и — соответственно математическое ожидание и центрированная случайная составляющая выходной величины.

Нелинейный элемент НЭ (рис. 3.2) можно заменив двумя эквивалентными линейными элементами с коэффициентами усиления, зависящими от величины математического ожидания и дисперсии процесса на входе нелинейного элемента.

Тогда можно представить, что составляющие входного сигнала и проходят по двум различным каналам с коэффициентами усиления и соответственно (рис.3.2).

В этом случае для процесса на выходе линейных элементов можно записать

(3.4)

Выходная величина канала со статистическим коэффициентом усиления по регулярной составляющей (мате­матическому ожиданию)

(3.5)

Выходная величина канала со статистическим коэффициентом усиления по случайной составляющей (по дисперсии)

(3.6)

Расчеты показывают, что статистическая линеаризация, основанная на сохранении математического ожидания и дисперсии функции, обычно дает большую ошибку её корреляционной функции. В связи с этим более при-емлемым условием статистической равноценности функции является минимизация СКО от замены функции линейной функцией.

Тогда для определения статистических коэффициентов усиления в соответствии с исходным условием линеаризации (рис. 3.2) получаем

(3.7)

или

Приравнивая к нулю частные производные этого выражения по и ,получаем уравнения:

откуда

(3.8)

и

откуда

(3.9)

где - дисперсия сигнала на входе нелинейного элемента;

-среднее значение произведения двух случайных сигналов,

взятых в один и тот же момент времени, которое называют

взаимной дисперсией.

Зная плотность вероятности сигнала на входе НЭ р(х), можно определить статистические коэффициенты усиления по формулам:

(3.10)

где — математическое ожидание процесса на входе

нелинейного элемента;

— статическая характеристика нелинейного

элемента;

— плотность вероятности нормального

случайного процесса;

— дисперсия случайного процесса на входе нелинейного элемента,

и

(3.11)

где

Иногда для повышения точности расчетов в качестве используют среднее арифметическое значение этого коэффициента, полученное по (3.6) и (3.11), т. е.

где

Приведенные формулы для и показывают, что эти коэффициенты зависят не только от вида функции F, но и от закона распределения случайной величины [от плотности вероятности р(х) ].

Практически во многих случаях распределение слу­чайной величины подчиняется закону нормального рас­пределения или может быть принято соответствующим та­кому закону. Это объясняется тем, что нелинейные эле­менты в, системах соединяются с инерционными линейными элементами, а закон распределения выходной величины р(х) инерционной линейной системы оказы­вается обычно близким к нормальному при любом законе распределения входной величины. Закон распределения на выходе тем ближе к нормальному, чем инерционнее, т.е. более узкополосна линейная система. Иными слова­ми, если входная величина линейной системы обладает нормальным распределением, то сигналы во всех элемен­тах системы будут подчиняться тому же закону распре­деления. Наличие НЭ в системе нарушает это, однако при достаточно малой полосе пропускания системы имеется тенденция к восстановлению нормального характера рас­пределения. Кроме того, изменение формы закона распре­деления в широких пределах оказывает малое существен­ное влияние на коэффициенты и .

При законе нормального распределения статистиче­ские коэффициенты усиления НЭ и , которые в об­щем случае не постоянны, будут лишь

функциями мате­матического ожидания т_х и дисперсии D_x входного сиг­нала, т. е. и . (Следует напомнить, что плотность вероятности при законе нормального распределения однозначно определяется математическим ожиданием и дисперсией случайной величины.) В этом отражается специфика исходного нелинейного преобразования, при котором коэффициент преобразования зависит от приложенного воздействия (на блок-схеме рис. 3.2 влияние показано соответствующими связями). Таким образом, выходной полезный сигнал и коэффициенты и являются функциями не только полезного сигнала, но и помех во входном сигнале.

Заметим, что метод статистической линеаризации Бутона основан на замене характеристики НЭ линейной зависимостью с одним общим коэффициентом усиления для полезного сигнала и помехи, который определяется из условия .

Значения статистических коэффициентов усиления для типовых НЭ и нормальной функции распределения плотности вероятности можно определить по формулам, приведенным в [4]. Здесь же приводятся графики зависимостей и от математического ожидания т_х и дисперсии D_x входного сигнала (графики даны на рис. П.1, П.2 и П.З приложения II).

Как видно из рис. П.З (график m_y=f(m_x), где ), наличие случайной составляющей сигналя сглаживает нелинейную зависимость между выходом и входом НЭ для среднего значения сигнала. При ,

т. е. при отсутствии случайной составляющей, эта зависимость совпадает с нелинейной статической характеристикой элемента. С увеличением наклон характеристики уменьшается. Случайная составляющая входного сигнала создает эффект линеаризации НЭ для детерминированной составляющей (среднего значения) сигнала. Например, релейный элемент за счет действия случайной составляющей по отношению к детерминированной составляющей ведет себя, как звено непрерывного действия.

В свою очередь детерминированная составляющая сигнала оказывает влияние на прохождение случайной составляющей. Так, для НЭ с насыщением при росте т_х передача случайной составляющей ослабляется за счет насыщения НЭ детерминированной составляющей сигнала [рис. П.З. График , где ].

Формулы (3.10) и (3.11) обладают свойством адди­тивности. Если

(3.12)

то получим:

(3.13)

(3.14)

Поэтому графики, приведенные на рис. П.1, П.2 и П.З, можно использовать для получения коэффициентов, статистической лине­аризации различных не­линейных элементов.

Имея, например, ста­тическую характеристику элемента в виде ограни­чения, можно статиче­скую характеристику эле­мента с зоной нечувстви­тельности представить в виде (рис. 3.3)

Подставляя это выражение в формулы (3.10) и (3.11), получим

(3.15)

На основании соотношений (3.15) по рис. П.3 можно определить коэффициенты статистической линеаризации для элемента с зоной нечувствительности.

Для исследования нелинейных САУ возможен, и дру­гой подход — аппроксимация нелинейных функций экви­валентной передаточной функцией, приближенно отобра­жающей истинную картину прохождения случайного сигнала через НЭ. Этот метод изложен в работе К. А. Пупкова [10].

Метод статистической линеаризации является приб­лиженным методом. Чем ближе характеристика НЭ F(x) к линейной, тем ближе значение D_y, найденное по методу статистической линеаризации, к истинному его значению.

Ограничения в использовании метода статистической линеаризации обусловлены требованиями нормального распределения случайной функции на входе НЭ и наличия инерционного линейного звена (узкополосного фильтра) на выходе НЭ.

В [4] показано, что для случайных сигналов с законом нормального распределения статистический коэффициент усиления определяется путем дифференциро­вания:

Это соотношение может быть использовано вместо формулы (3.11) и для проверки правильности определения коэффициентов и .

Величиной удобно пользоваться при нечетной характеристике , т. е. при F(—x) = — F(x).

Если характеристика F(x) не является нечетной, то НЭ осуществляет детектирование случайного процесса и даже, если т_х = 0. Для такой характеристики величина при т_х = 0 становится бесконечной (3.8).

Поэтому для характеристик F(x), не являющихся нечетными, процесс y(t) удобнее аппроксимировать выражением

где — средняя в вероятностном смысле статистиче­ская

характеристика нелинейности.

В этом случае нелинейная зависимость F(x) заме­няется нелинейным преобразованием математического ожидания m_x(t) и линейным преобразованием состав­ляющей .

Значения определяют тем же путем, что и коэф­фициенты , :

Для нелинейных безынерционных элементов, имеющих нечетные характеристики, функцию можно представить выражением

Пример. 3.1. Определить статистический коэффи­циент усиления по случайной составляющей для НЭ типа квадратора у = х² при законе нормального распре­деления случайной функции на входе x(t)=m_x+ .

Функция

Находим , дифференцируя функцию по т_х:

Пример 3.2. Определить статистический коэффи­циент усиления для нелинейного элемента типа реле (рис. 3.3), полагая, что на входе реле действует сигнал с законом нормального распределения и т_х = 0. В соот­ветствии с рис. 3.3 у = 0 при и при ; тогда по определению (3.11)

(3.16)

Если , то

.

Из данного выражения следует, что с увеличением дисперсии входного сигнала величина статистического коэффициента уменьшается.

В общем случае для НЭ типа реле без зоны нечув­ствительности, как нечетного НЭ, коэффициенты стати­стической линеаризации определяют по формулам (3.10) и (3.11), т. е.

или при замене

Соответственно

Для реле с зоной нечувствительности:

,

,

где

.

Значения Ф(х) приведены в приложении III.

Пример 3.3. Определить статистические коэффициенты усиления для нелинейности типа дискриминатор с синусоидальной характеристикой

(рис. 3.4).

В соответствии с (3.10) и (3.11)

Полученные результаты приближенно справедливы и для случая, когда

На рис, 3.5, а и б представлены вычисленные норми­рованные зависимости статистических коэффициентов Усиления и от величины математического ожидания и среднеквадратического значения а_х воздействия х.

Увеличение уровня помехи, приводит к росту а_х воздействия на входе НЭ. Эквивалентные коэффициенты уси­ления и при этом уменьшаются и при большом уровне помех становятся близкими к нулю.

Пример 3.4. Определить статистические коэффициенты усиления для НЭ в виде ограничения.

В результате вычислений по формулам (3.10) и (3.11)

и

где

В — уровень ограничения по выходному сигналу;

а — зона линейности.

Определение статистических коэффициентов усиления для неоднозначных характеристик нелинейных элементов также можно осуществить по формулам (3.10) и (3.11). В этом случае функция F(x) в формулах (3.10) и (3.11) заменяется функцией F(x, ), одномерная плотность вероятности р(х) —совместной плотностью вероятности р(х, ) значений случайной функции x(t) и ее производной (t) при любом данном t, а интегралы — двойными интегралами по переменным х, .

В качестве примера неоднозначной характеристики на рис. П.8 приведена зависимость между входным и выходным сигналами в механических передачах (звено с мертвым ходом). Для таких элементов выходная величина у зависит не только от значения входного сигнала, но и от направления ее изменения, т. е. от знака скорости .

Дата добавления: 2015-07-15